2013年度夏学期数学1B白石潤一
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2013年度夏学期数学1B白石潤一
ja
2013-09-01T11:27:57+09:00
1378002477
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§9 正項級数の収束条件と交代級数の和
https://w.atwiki.jp/2013smmath1bsris/pages/34.html
正の項 a&sub(){n}>0 からなる級数 $$ \sum_{n=0}^\infty a_n $$ を''正項級数''と呼ぼう。
0<r<1 に対して、
$$ \sum_{n=0}^m r^n = \frac{1-r^{m+1}}{1-r},\ \lim_{m\to\infty} r^m = 0 $$ より、
級数 $$\sum_{n=0}^\infty r^n$$ は $$\frac{1}{1-r}$$ に収束する。
このことをひたすら応用してゆく。
(1) 収束するものより小さければ収束。
(2) 収束するものより増え方が弱ければ収束。
#blockquote(){{{命題 1.17
$$ \textstyle \sum a_n $$, $$ \textstyle \sum c_n $$ を正項級数、$$ \textstyle \sum c_n $$ は収束するものとする。
このとき、次が成立。
(1) すべての n について $$ a_n \le c_n $$ ならば $$ \textstyle \sum a_n $$ も収束。
(2) すべての n について $$ \tfrac{a_{n+1}}{a_n} \le \tfrac{c_{n+1}}{c_n} $$ ならば $$ \textstyle \sum a_n $$ も収束。}}}
'''Proof.'''
省略
#blockquote(){{{命題 1.18 (コーシーの判定法)
0<r<1 なる実数 r が存在して、
ある n&sub(){0} 以上のすべての整数 n について $$ \sqrt[n]{a_n} \le r $$ が成立すれば $$ \textstyle \sum a_n $$ は収束。}}}
>(注意)
>1 より小さい r を固定して、$$ \sqrt[n]{a_n} \le r $$ となるのが条件。
>したがって、$$ \sqrt[n]{a_n} $$ が 1 にどこまでも近づくときは使えない。
'''Proof.'''
条件より、n≧n&sub(){0} で a&sub(){n}≦r&sup(){n}
よって 命題 1.17 (1) より n&sub(){0} 以降の級数は収束。
n
2013-09-01T11:27:57+09:00
1378002477
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§ 三角関数の無限級数表示と無限積表示
https://w.atwiki.jp/2013smmath1bsris/pages/33.html
#blockquote(){{{定義 1.14 (指数関数、三角関数の定義)
任意の $$x\in\mathbb{C}$$ に対して、e&sup(){x}, cos x, sin x を次のように定める。
$$ \begin{align} e^x & = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \\ \cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots && \left ( = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} \right ) \\ \sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots && \left ( = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right ) \end{align} $$}}}
>これらは収束するか?
>連続関数となるか?
>微分可能なのか?
>われわれが使ってきたものと同じなのか?
>というチェックが必要ですが、今はやりません。
#blockquote(){{{定理 1.15 (オイラーの積公式)
$$ \sin x = x\prod_{n=1}^\infty \left( 1-\frac{x^2}{n^2\pi^2} \right) = x \left( 1-\frac{x^2}{\pi^2} \right) \left( 1-\frac{x^2}{4\pi^2} \right) \left( 1-\frac{x^2}{9\pi^2} \right) \cdots $$}}}
証明は今学期はできない。
sin x は x = 0, ±π, ±2π, ±3π, ... のときに 0 になる、という特徴を踏まえた形になっているなぁ
と思えばよい。
ここから 定理 1.13 の第 1 式を導いてみましょう。
>テストに出ます。
右辺を展
2013-09-01T00:22:20+09:00
1377962540
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§7 級数
https://w.atwiki.jp/2013smmath1bsris/pages/32.html
定義(級数について)
a&sub(){1}, a&sub(){2}, a&sub(){3}, ... を実数列とする。
これから得られる数列 s&sub(){n} を、
$$ \begin{align} s_1&=a_1 \\ s_2&=a_1+a_2 \\ s_3&=a_1+a_2+a_3 \\ \vdots \\ s_n&=a_1+a_2+\cdots+a_n \end{align} $$
と定める。
つまり、$$ s_n=\sum_{i=1}^n a_i $$
(例)
$$ a_n=\frac{1}{2^n} $$ のとき、
$$ s_n=\sum_{i=0}^n \frac{1}{2^n} = \frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}\xrightarrow{n\to\infty}\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2 $$
もし、s&sub(){n} がある実数 α に収束するとき、
つまり、$$ \lim_{n \to \infty} s_n = \alpha $$ となるとき、
$$ \sum_{i=1}^\infty a_i = \alpha $$
と書く。これを無限級数と呼ぶ。
(例)
|x|<1 のとき、
$$ \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x} $$
#blockquote(){{{定理 1.13 (オイラー)
$$ \begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} &= \frac{\pi^2}{6} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} &= \frac{\pi^4}{90} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^6} &= \frac{\pi^6}{945} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^8} &= \frac{\pi^8}{9450} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{10}} &= \frac{\pi^{10}}{93555} \end{align} $$}}}
一方で、
$$ \begin{align
2013-08-31T23:45:14+09:00
1377960314
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§8 曲面の極値
https://w.atwiki.jp/2013smmath1bsris/pages/31.html
#blockquote(){{{(接平面に関する必要条件)
十分滑らかな曲面 z=f(x, y) を考える。
点(x, y)=(a, b)で極値をとるためには
$$ \begin{cases} f_x(a, b)=0 \\ f_y(a, b)=0 \end{cases} \cdots (*) $$
となることが必要。}}}
α, β は十分小さいとする。
テイラーの公式を用いて (a+α, b+β) での値を α, β の2次式まで見ると、
$$ f(a+\alpha, b+\beta)=f(a, b)+\alpha \underbrace{f_x(a, b)}_{\overset{(*)}{=}0}+\beta \underbrace{f_y(a, b)}_{\overset{(*)}{=}0} +\frac{1}{2}\{\alpha^2 f_{xx}(a, b)+2\alpha\beta f_{xy}(a, b)+\beta^2 f_{yy}(a, b)\}$$ +(3次以上の項)
条件(*)の下では
$$ f(a+\alpha, b+\beta)-f(a, b) \cong \frac{1}{2}\{\alpha^2 f_{xx}(a, b)+2\alpha\beta f_{xy}(a, b)+\beta^2 f_{yy}(a, b)\} $$
ここで、右辺は2次形式となっているので、
#blockquote(){{{''ヘッセ行列''と呼ばれる実対称行列 $$ H(x, y) = \begin{pmatrix} f_{xx}(x, y) & f_{xy}(x, y) \\ f_{xy}(x, y) & f_{yy}(x, y) \end{pmatrix} $$ を用いると、
$$ f(a+\alpha, b+\beta)-f(a, b) \cong \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \alpha & \beta \end{pmatrix} H(a, b) \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$$}}}
#blockquote(){{{命題 2.26 (ヘッセ行列式による極値判定)
z=f(x, y) を十分滑らかな曲面とする。
2013-08-31T22:45:48+09:00
1377956748
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1学期最終講義
https://w.atwiki.jp/2013smmath1bsris/pages/30.html
*合成関数の微分
省略します。
#blockquote(){{{f(x), g(x) が微分可能なとき、$$\frac{d}{dx}f(g(x))=g'(x)f'(g(x))$$}}}
*対数微分
$$\frac{d}{dx}\log f(x) =\frac{f'(x)}{f(x)}$$ より、
#blockquote(){{{$$f'(x)=f(x) \cdot \frac{d}{dx}\log f(x)$$}}}
「f(x) の微分は難しいけど log f(x) なら僕にも微分できる!」
というときに使えます。
(例)
$$ f(x)=x^x $$
log f(x) = x log x なので、
$$ \frac{d}{dx} \log f(x) = \log x + 1 $$
ゆえに、
$$ f'(x) = x^x (\log x + 1) $$
>$$ \frac{d}{dx} x^x = x^x (\log x + 1) $$
*オイラーの公式
$$ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta $$
の使い方。
(例)
$$ e^\frac{i\pi}{3}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} $$
(例)
$$ i^i $$
無理やりだが、$$ i = \cos\big(\frac{\pi}{2}+2n\pi\big)+i\sin\big(\frac{\pi}{2}+2n\pi\big) = e^{\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)i} \quad (n\in\mathbb{R}) $$
したがって、$$ i^i = \left(e^{\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)i}\right)^i =e^{\left-\frac{\pi}{2}-2n\pi\right} \quad (n\in\mathbb{R}) $$
計算結果が一意に定まらないが、これでよい。
ところで、
$$(-1)^i=(i^i)^2$$ とかいう変形スキルはあってもいいと思う。
*連分数
>実数 a は
2013-09-01T14:47:10+09:00
1378014430
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§7 2次形式
https://w.atwiki.jp/2013smmath1bsris/pages/29.html
実数 a, b, c に対して、
$$\begin{align} f(x, y) &= ax^2+2bxy+cy^2 \\ &= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align}$$
を''2次形式''と呼ぼう。
>右辺を2つ書いたが、意味は同じ。
>$$\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&c\end{smallmatrix} \big)$$は実対称行列であることに注意。
#blockquote(){{{定義 2.19 (正値とは)
2次形式 f(x, y) が正値であるとは、
(x, y)≠0 ならば f(x, y)>0 となることと定める。}}}
(例)
f(x, y)=x&sup(){2}+y&sup(){2} は正値。
f(x, y)=xy は正値でない。
#blockquote(){{{定義 2.20 (固有値、固有ベクトルとは)
$$A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big) $$ に対して、ある実数 λ と&u(){零でない}実ベクトル$$ \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) \ne \big(\begin{smallmatrix}0\\0\end{smallmatrix} \big) $$が存在して、
$$ A \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} $$ が成立しているとき、
λ を A の(実の)固有値、$$ \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) $$を固有値 λ の固有ベクトルと呼ぶ。}}}
#blockquote(){{{命題 2.21 (固有値と特性方程式)
λ が $$A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{s
2013-08-31T19:53:57+09:00
1377946437
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§2 平均値の定理
https://w.atwiki.jp/2013smmath1bsris/pages/28.html
&bold(){(極大、極小)}
f(x) が x で&bold(){極大}とは、x を含む'''開'''区間 U が(小さくても良いから)存在して、
任意の y∈U に対して f(y)≦f(x) となることと定める。
f(x) が x で&bold(){極小}とは、(中略) f(y)≧f(x) となることと定める。
さらに、x≠y ならば f(x)<f(y) となるとき&bold(){狭義の極大}という。
狭義の極小についても同様。
#blockquote(){{{命題 2.3 (極値の必要条件)
f(x) は微分可能とする。
f(x) が c で極大(小)となれば f'(c)=0}}}
'''Proof.'''
まず、$$ f'(c)=\lim_{h\to+0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} $$
分母は負、分子は正なので、極限の f'(c) は0以下
また、$$ f'(c)=\lim_{h\to-0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} $$
分母は負、分子は負なので、極限の f'(c) は0以上
したがって f'(c) は0以上0以下、すなわち0。 ∥
----
これから3つの定理を示すが、これらは次のような関係を持っている。
>&bold(){定理 2.4 (ロルの定理)}
>↓ 応用
>&bold(){定理 2.5 (平均値の定理)}
>↓ 応用
>&bold(){定理 2.6 (コーシーの平均値の定理)}
逆に見れば、
>&bold(){定理 2.4 (ロルの定理)}
>↑ f(a)=f(b) の場合
>&bold(){定理 2.5 (平均値の定理)}
>↑ g(x)=x の場合
>&bold(){定理 2.6 (コーシーの平均値の定理)}
という関係でもある。
#blockquote(){{{定理 2.4 (ロルの定理)
f(x) が[a, b]で連続、(a, b)で微分可能とし、
f(a)=f(b) であるとする。
このとき、ある点 c∈(a, b) が存在して、f'(c)=0となる。}}}
'''Proof.'''
f(x) は連続なので、定理 1.24 (夏学期の大定理) より、[a, b]の点で最大値、最小値をとる。
f(x) が定
2013-09-01T00:30:13+09:00
1377963013
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§6 複素数とガウス平面
https://w.atwiki.jp/2013smmath1bsris/pages/27.html
&bold(){(複素数とその四則、共役複素数、絶対値、偏角)}
$$ \mathbb{C}=\{ x+iy | x, y \in \mathbb{R}, i^2=-1 \} $$ を&bold(){複素数}という。
C には四則が定められる。
$$\begin{align} (a+ib) \pm (c+id) &= (a \pm c)+i(b \pm d) \\ (a+ib) (c+id) &= (ac-bd)+i(ad+bc) \\ \frac{a+ib}{c+id} &= \frac{ (a+ib) (c-id) }{ c^2 + d^2 } \end{align}$$
z=x+iy の&bold(){絶対値} |z| を、
$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x+iy)(x-iy)}=\sqrt{z \cdot \bar z}$$ とする。
($$\bar z=x-iy$$ を z の&bold(){共役複素数}という。)
z の&bold(){偏角} θ を、
$$ \cos \theta =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \ \ \sin \theta =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} $$ で定める。
>z=0 のときの θ はすべての実数とする。ここでは深く考えない。
C を平面状の点と同一視した場合、この平面を&bold(){複素平面}とか&bold(){ガウス平面}と呼ぶことがある。
絶対値は、原点からの距離に相当する。
任意の複素数は、絶対値と偏角によって $$ z=r(\cos \theta + i \sin \theta) $$ と表せる。
>z=0 のときも成り立つ。
特に、絶対値1の複素数は cosθ+isinθ と書けて、単位円に相当する。
#blockquote(){{{命題 1.11
絶対値 r, 偏角 α の複素数 r(cosα+isinα) に、
絶対値 s, 偏角 β の複素数 s(cosβ+isinβ) をかけると、
絶対値が s 倍され、偏角が β だけ増加し、
積は、rs(cos(α+β)+isin(α+β)) となる。}}}
'''Proof.'''
三角関数の加法定理よりすぐに示せる。
2013-08-28T13:27:38+09:00
1377664058
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過去問/2011年度夏学期
https://w.atwiki.jp/2013smmath1bsris/pages/26.html
*問題Ⅰ
*(a)
$$ 1+\sqrt{2} $$を連分数展開する問題。
>$$ 1+\sqrt{2} $$は白銀数δ&sub(){S}とか呼ばれるらしいです。
>連分数展開するときれいになります。親切設計です。
&bold(){<解法1>}
覚えていた。
&bold(){<解法2>}
とりあえず計算した。
1+√2=2.41...なので、整数部分は2。
小数部分の逆数は、$$ \frac{1}{(1+\sqrt{2})-2}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=1+\sqrt{2} $$
早くも循環したのであとはずっと2。
ということで答えは、
$$ 1+\sqrt{2} = 2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\ddots}}}} $$ (終)
>連分数展開について詳しくは、[[1学期最終講義]] へ
*(b)
$$ e^{\pi i/3} $$を計算する問題。
>オイラーの公式を覚えているかのチェック。
&bold(){<解法1>}
過程を書かない場合。
複素平面に単位円を書いて、座標が1の点から反時計回りにπ/3だけ進むと1/2+i√3/2。
&bold(){<解法2>}
過程を書く場合。
$$ e^{\pi i/3} = \cos {\pi/3} + i\sin{\pi/3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} $$ (終)
*問題Ⅱ
*(a)
$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} $$の収束性を調べ、その値を計算する問題。
>大学入試で良く見るやつ。今年(2013)の東大前期の数学(理科)第3問にも登場しました。
&bold(){<収束判定1>}
ぱっと見で判定する。
2^n は n^3 より強く発散するので、n/2^n は n/n^3 = 1/n^2 よりも速く零に近づく。
ここで、1/n^2 は収束するので n/2^n も収束する。
&bold(){<収束判定2>}
コーシーの判定法は使えますが、ダランベールの判定法を使うのが楽です。
ということで、lim(a&sub(){n+1}/a&sub(){n})を計算します。
2013-08-31T23:32:53+09:00
1377959573
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2章 微分法/定理・定義・命題の一覧
https://w.atwiki.jp/2013smmath1bsris/pages/25.html
*§1 導関数
#blockquote(){{{定義 2.1 (微分可能、微分係数とは)}}}
#blockquote(){{{命題 2.2}}}
*[[§2 平均値の定理]]
#blockquote(){{{命題 2.3 (極値の必要条件)
f(x) は微分可能とする。
f(x) が c で極大(小)となれば f'(c)=0}}}
>&bold(){定理 2.4 (ロルの定理)}
> 応用↓ ↑ f(a)=f(b) の場合
>&bold(){定理 2.5 (平均値の定理)}
> 応用↓ ↑ g(x)=x の場合
>&bold(){定理 2.6 (コーシーの平均値の定理)}
#blockquote(){{{定理 2.4 (ロルの定理)
f(x) が[a, b]で連続、(a, b)で微分可能とし、
f(a)=f(b) であるとする。
このとき、ある点 c∈(a, b) が存在して、f'(c)=0となる。}}}
#blockquote(){{{定理 2.5 (平均値の定理)
f(x) が[a, b]で連続、(a, b)で微分可能とすると、
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$
となる c∈(a, b) が存在する。}}}
#blockquote(){{{定理 2.6 (コーシーの平均値の定理)
f, g が[a, b]で連続、(a, b)で微分可能とする。
さらに、g(a)≠g(b) で、f'(x) と g'(x) は同時に零にならないものとする。
このとき、
$$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} $$
となる c∈(a, b) が存在する。}}}
#blockquote(){{{定理 2.7 (テイラーの定理)
この定理に限り、[a, x], (a, x)は a>x のとき[x, a], (x, a)のこととする。
f(x) が[a, x]で連続、(a, x)で n 回微分可能とする。
$$ f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f' '(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots+\frac{f^{(n-1)
2013-08-31T22:49:25+09:00
1377956965