定義 1.14 (指数関数、三角関数の定義)
任意の
に対して、e
x, cos x, sin x を次のように定める。
これらは収束するか?
連続関数となるか?
微分可能なのか?
われわれが使ってきたものと同じなのか?
というチェックが必要ですが、今はやりません。
定理 1.15 (オイラーの積公式)
証明は今学期はできない。
sin x は x = 0, ±π, ±2π, ±3π, ... のときに 0 になる、という特徴を踏まえた形になっているなぁ
と思えばよい。
ここから 定理 1.13 の第 1 式を導いてみましょう。
テストに出ます。
右辺を展開すると
+(5次以上の項)
となるので、
オイラーの積公式の右辺のx
3の係数は
一方、
より
オイラーの積公式の左辺のx
3の係数は -1/3! したがって、
ゆえに、
講義では第 2 式も導いていました。
テストには出ないと思いますが…
定理 1.15 (オイラーの積公式) に、
を代入すると、
変形すると、
命題 1.16 (ウォリスの公式)
二項定理は、次数を実数に拡張しても成り立つ。
すなわち、
定理 (二項定理)
α∈R,
|x|<1 に対して、次が成り立つ。
(例)
α=-1/2 とすると、
最終更新:2013年09月01日 00:22