§7 級数


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定義(級数について)

a 1 , a 2 , a 3 , ... を実数列とする。
これから得られる数列 s n を、
 \begin{align} s_1&=a_1 \\ s_2&=a_1+a_2 \\ s_3&=a_1+a_2+a_3 \\ \vdots \\ s_n&=a_1+a_2+\cdots+a_n \end{align}
と定める。
つまり、 s_n=\sum_{i=1}^n a_i

(例)
 a_n=\frac{1}{2^n} のとき、

 s_n=\sum_{i=0}^n \frac{1}{2^n} = \frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}\xrightarrow{n\to\infty}\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2


もし、s n がある実数 α に収束するとき、
つまり、 \lim_{n \to \infty} s_n = \alpha となるとき、
 \sum_{i=1}^\infty a_i = \alpha
と書く。これを無限級数と呼ぶ。

(例)
|x|<1 のとき、
 \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}


定理 1.13 (オイラー)
 \begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} &amp;= \frac{\pi^2}{6} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} &amp;= \frac{\pi^4}{90} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^6} &amp;= \frac{\pi^6}{945} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^8} &amp;= \frac{\pi^8}{9450} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{10}} &amp;= \frac{\pi^{10}}{93555} \end{align}

一方で、
 \begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} &amp;= 1.20205\ldots \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} &amp;= 1.03692\ldots \end{align}
など、奇数の場合は半端な値になる。 詳しくは、ゼータ関数で各自検索してほしい。


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