1学期最終講義


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合成関数の微分

省略します。
f(x), g(x) が微分可能なとき、\frac{d}{dx}f(g(x))=g'(x)f'(g(x))

対数微分

\frac{d}{dx}\log f(x) =\frac{f'(x)}{f(x)} より、
f'(x)=f(x) \cdot \frac{d}{dx}\log f(x)

「f(x) の微分は難しいけど log f(x) なら僕にも微分できる!」
というときに使えます。

(例)
 f(x)=x^x

log f(x) = x log x なので、
 \frac{d}{dx} \log f(x) = \log x + 1
ゆえに、
 f'(x) = x^x (\log x + 1)

 \frac{d}{dx} x^x = x^x (\log x + 1)

オイラーの公式

 e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta
の使い方。
(例)
 e^\frac{i\pi}{3}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
(例)
 i^i
無理やりだが、 i = \cos\big(\frac{\pi}{2}+2n\pi\big)+i\sin\big(\frac{\pi}{2}+2n\pi\big) = e^{\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)i} \quad (n\in\mathbb{R})
したがって、 i^i = \left(e^{\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)i}\right)^i =e^{\left-\frac{\pi}{2}-2n\pi\right} \quad (n\in\mathbb{R})
計算結果が一意に定まらないが、これでよい。

ところで、
(-1)^i=(i^i)^2 とかいう変形スキルはあってもいいと思う。

連分数

実数 a は整数部分と小数部分に分けられる。
小数部分が 0 ならおわりにして、そうでなければ
小数部分を「何分の1」と書くと、分母は1以上の実数。
よって、0でない整数部分と、小数部分に分けられる。
小数部分が 0 ならおわりにして、そうでなければ
小数部分を「何分の1」と書くと、……

これを続けることにより、整数部分からなる数列が得られる。
この数列を a の連分数展開という。

性質

有理数を連分数展開すると有限で終了する。
無理数を連分数展開すると無限に続く。

有理数とは、「整数係数の1次方程式の解」でした。
無理数のうち、
「整数係数の2次方程式の解」を連分数展開すると循環する。

したがって、整数の平方根は循環する。

<計算方法>
値を計算して、整数部分がいくつになるか調べる。
小数部分の逆数をとる。
この2つを繰り返す。

逆に、連分数展開が与えられたときは、
 X = 2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\ddots}}}}
とおく。
 2+\frac{1}{X} = 2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\ddots}}}}
なので、
 X = 2+\frac{1}{X}
両辺に X をかけて解くと、
 X = 1\pm\sqrt{2}
ここで、連分数分解の最初に注目すると 0 < 1/X < 1 なので、
 X = 1 + \sqrt{2} と分かる。

覚えておいたほうがよいもの

黄金比 \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} の連分数分解は、

\phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ddots}}}}

tan x のテイラー展開

任意の実数 x に対し次が成り立つ。

 \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots }{ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots }

このままでは計算できないので、分数をやめるために
 \frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\cdots
の 1-x に cos x を代入することを考える。

 \begin{align} \tan x &amp;= \frac{ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots }{ 1 - \left( \frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} - \cdots \right) } \\ &amp;= \big(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\big)\Big\{ 1 + \Big(\frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} - \cdots \Big) + \Big(\frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} - \cdots \Big)^2 + \cdots \Big\}  \end{align}

がんばって展開していくと、
 \tan x = x^1 + x^3\Big(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\Big) + x^5\Big(-\frac{1}{4!}+\Big(\frac{1}{2!}\Big)^2-\frac{1}{3!}\cdot\frac{1}{2!}+\frac{1}{5!}\Big) + \cdots
 \tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \cdots
ここまで覚えれば十分です。なお、詳しくは
 \tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \frac{62}{2835}x^9 + \frac{1382}{155925}x^{11} + \cdots
です。


(終)