合成関数の微分
省略します。
f(x), g(x) が微分可能なとき、
対数微分
より、
「f(x) の微分は難しいけど log f(x) なら僕にも微分できる!」
というときに使えます。
(例)
log f(x) = x log x なので、
ゆえに、
オイラーの公式
の使い方。
(例)
(例)
無理やりだが、
したがって、
計算結果が一意に定まらないが、これでよい。
ところで、
とかいう変形スキルはあってもいいと思う。
連分数
実数 a は整数部分と小数部分に分けられる。
小数部分が 0 ならおわりにして、そうでなければ
小数部分を「何分の1」と書くと、分母は1以上の実数。
よって、0でない整数部分と、小数部分に分けられる。
小数部分が 0 ならおわりにして、そうでなければ
小数部分を「何分の1」と書くと、……
これを続けることにより、整数部分からなる数列が得られる。
この数列を a の連分数展開という。
性質
有理数を連分数展開すると有限で終了する。
無理数を連分数展開すると無限に続く。
有理数とは、「整数係数の1次方程式の解」でした。
無理数のうち、
「整数係数の2次方程式の解」を連分数展開すると循環する。
したがって、整数の平方根は循環する。
<計算方法>
値を計算して、整数部分がいくつになるか調べる。
小数部分の逆数をとる。
この2つを繰り返す。
逆に、連分数展開が与えられたときは、
とおく。
なので、
両辺に X をかけて解くと、
ここで、連分数分解の最初に注目すると 0 < 1/X < 1 なので、
と分かる。
覚えておいたほうがよいもの
黄金比
の連分数分解は、
tan x のテイラー展開
任意の実数 x に対し次が成り立つ。
このままでは計算できないので、分数をやめるために
の 1-x に cos x を代入することを考える。
がんばって展開していくと、
ここまで覚えれば十分です。なお、詳しくは
です。
(終)
最終更新:2013年09月01日 14:47