§7 2次形式


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実数 a, b, c に対して、
\begin{align} f(x, y) &= ax^2+2bxy+cy^2 \\ &= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align}
2次形式と呼ぼう。
右辺を2つ書いたが、意味は同じ。
\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&c\end{smallmatrix} \big)は実対称行列であることに注意。

定義 2.19 (正値とは)
2次形式 f(x, y) が正値であるとは、
(x, y)≠0 ならば f(x, y)>0 となることと定める。

(例)
f(x, y)=x 2 +y 2 は正値。
f(x, y)=xy は正値でない。


定義 2.20 (固有値、固有ベクトルとは)
A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big) に対して、ある実数 λ と零でない実ベクトル \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) \ne \big(\begin{smallmatrix}0\\0\end{smallmatrix} \big) が存在して、
 A \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} が成立しているとき、
λ を A の(実の)固有値、 \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) を固有値 λ の固有ベクトルと呼ぶ。
命題 2.21 (固有値と特性方程式)
λ が A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big) の固有値 ⇔ λ は \det(A-\lambda E)=0 の実根

この det(A-λE)=0 を特性方程式という  (ただし E は2次の単位行列)
\det(A-\lambda E) = \begin{vmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{vmatrix}=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=\lambda^2-(a+d)\lambda+ad-bc
Proof.
「→」
 A \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) = \lambda \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) より、
 (A-\lambda E) \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}
もし(A-λE)が正則なら(A-λE) -1 を左からかけることにより \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} となって仮定に反する。
よって(A-λE)は正則でない。すなわちdet(A-λE)=0
「←」
det(A-λE)=0 のとき、det(A-λE)を計算した上の式を見れば分かる通り、
 \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}d-\lambda\\-c\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-b\\a-\lambda\end{pmatrix} はどちらも
 (A-\lambda E) \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} をみたす。
ただし、この(x y)が両方とも零ベクトルになるようなら(x y)=(1 1)などがこの式を満たす。
よって、 A \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) = \lambda \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) を満たし零ベクトルでない(x y)が存在する。 ∥

命題 2.22
実対称行列A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&c\end{smallmatrix} \big) の特性方程式の解は2つとも実数。
Proof.
\det(A-\lambda E) = \begin{vmatrix} a-\lambda & b \\ b & c-\lambda \end{vmatrix}=(a-\lambda)(c-\lambda)-b^2=\lambda^2-(a+c)\lambda+ac-b^2 = 0

\therefore \lambda = \frac{(a+c)\pm\sqrt{(a+c)^2-4ac+4b^2}}{2}
ルートの中身は (a+c)^2-4ac+4b^2=(a-c)^2+4b^2\ge0
よってλは実数。 ∥

一般の n に対しても、n 次の実対称行列の固有値はすべて実数。らしい。

 \vec u = \begin{pmatrix}u_x\\u_y\end{pmatrix}, \vec v = \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix} に対して、
内積を (\vec u, \vec v) = u_xv_x+u_yv_y と定める。

(\vec u, \vec v) = \begin{pmatrix}u_x&u_y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix} とも書ける。

補題 2.23
実対称行列A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&c\end{smallmatrix} \big) に対して、(A \vec u, \vec v)=(\vec u, A \vec v) が成立する。
Proof.
もちろん成分を計算すれば示せるが、もっと楽にやりたいと思う。
(\vec u, \vec v) = \begin{pmatrix}u_x&u_y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix} = {}^t\vec u \vec v
と行列の転置を使って書ける。
t A=A に注意すれば、
{}^t(A\vec u)={}^t\vec u \ {}^t\!A={}^t\vec u A
よって、
\begin{align}(A \vec u, \vec v)&={}^t(A\vec u) \vec v\\&=({}^t\vec u A) \vec v\\&={}^t\vec u (A \vec v)\\&=(\vec u, A \vec v)\end{align}
                   ∥
命題 2.24
Aを2次実対称行列とする。このとき、
A の固有値 \lambda_1, \lambda_2 の固有ベクトル \vec u_1, \vec u_2 で、 \mathbb{R}^2 の正規直交基底となるものが存在する。
つまり、(\vec u_1, \vec u_1)=1, (\vec u_2, \vec u_2)=1, (\vec u_1, \vec u_2)=0をみたす。
Proof.
省略。

命題 2.25
次は同値。
(1) f(x, y) = ( x \  y ) \big(\begin{smallmatrix} a & b \\ b & c \end{smallmatrix}\big) \big(\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\big) は正値。
(2)  \big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big) の固有値 λ 1 , λ 2 がともに正。
(3) a>0 かつ  \big|\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big| > 0
Proof.
省略。


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