(極大、極小)
f(x) が x で極大とは、x を含む開区間 U が(小さくても良いから)存在して、
任意の y∈U に対して f(y)≦f(x) となることと定める。
f(x) が x で極小とは、(中略) f(y)≧f(x) となることと定める。
さらに、x≠y ならば f(x)<f(y) となるとき狭義の極大という。
狭義の極小についても同様。
命題 2.3 (極値の必要条件)
f(x) は微分可能とする。
f(x) が c で極大(小)となれば f'(c)=0
Proof.
まず、
分母は負、分子は正なので、極限の f'(c) は0以下
また、
分母は負、分子は負なので、極限の f'(c) は0以上
したがって f'(c) は0以上0以下、すなわち0。 ∥
これから3つの定理を示すが、これらは次のような関係を持っている。
定理 2.4 (ロルの定理)
↓ 応用
定理 2.5 (平均値の定理)
↓ 応用
定理 2.6 (コーシーの平均値の定理)
逆に見れば、
定理 2.4 (ロルの定理)
↑ f(a)=f(b) の場合
定理 2.5 (平均値の定理)
↑ g(x)=x の場合
定理 2.6 (コーシーの平均値の定理)
という関係でもある。
定理 2.4 (ロルの定理)
f(x) が[a, b]で連続、(a, b)で微分可能とし、
f(a)=f(b) であるとする。
このとき、ある点 c∈(a, b) が存在して、f'(c)=0となる。
Proof.
f(x) は連続なので、定理 1.24 (夏学期の大定理) より、[a, b]の点で最大値、最小値をとる。
f(x) が定数関数ならば f'(x)=0 はいたるところで成り立つ。
f(x) が定数関数でないときを考えよう。
最大値と最小値、どちらも(a, b)に存在しないと仮定すると、
最大値と最小値はどちらも x=a, b のどちらかに存在することになるが、
f(a)=f(b) より、最大値=最小値=f(a)。
つまり f(x) は定数関数となり矛盾する。
したがって、最大値と最小値の少なくとも一方は(a, b)に存在する。
それを c と書こう。
c は[a, b]の内点(端ではない)なので、最大なら極大、最小なら極小。
(命題 2.3 より、)どちらにしても f'(c)=0 が成り立つ。 ∥
定理 2.5 (平均値の定理)
f(x) が[a, b]で連続、(a, b)で微分可能とすると、
となる c∈(a, b) が存在する。
Proof.
とおく。
つまり、φ(x) は2点(a, f(a)), (b, f(b))を通る直線と、f(x)の差である。
このとき、
なので、φ(a)=φ(b)
よってロルの定理より、ある c∈(a, b) が存在して、φ'(c)=0
ところで φ'(x)を計算すると
なので、
φ'(c)=0 より
∥
定理 2.6 (コーシーの平均値の定理)
f, g が[a, b]で連続、(a, b)で微分可能とする。
さらに、g(a)≠g(b) で、f'(x) と g'(x) は同時に零にならないものとする。
このとき、
となる c∈(a, b) が存在する。
Proof.
とおくと、
よって 定理 2.5 (平均値の定理) が使えて、
φ'(c)=0 なる c∈(a, b) が存在する。
左辺を計算すると、
g'(c)=0 だと f'(c)=0 となり題意に反する。
よって g'(c)≠0 で、
∥
お待たせしました!
定理 2.6 (コーシーの平均値の定理) が得られたので次の定理が証明できます!
定理 2.7 (テイラーの定理)
この定理に限り、[a, x], (a, x)は a>x のとき[x, a], (x, a)のこととする。
f(x) が[a, x]で連続、(a, x)で n 回微分可能とする。
をみたす ξ が(a, x)に存在する。
この
を剰余項、(またはラグランジュの剰余項)と呼ぶ。
Proof.
φ(x)=Rn, g(x)=(x-a)n とおくことで、
Rn の係数の部分 φ(x)/g(x) について調べたい。
まず、φ(x), g(x) の導関数を計算しておく。
(横長ですいません。1本目の式の最後の項は(n-1)次です)
必要なものを計算してまとめると、
さて、ここから 定理 2.6 (コーシーの平均値の定理) を使う。
使えるかどうかのチェックは後からやります。
定理 2.6 (コーシーの平均値の定理) をどう使ったかをチェックします。
1回目、「φ, g は[x, a]で連続、(x, a)で微分可能」である必要がありますが、
φ は f-(n-1次式) だからOK。g は明らかにOK。
さらに「g(x)≠g(a) で、φ' と g' は同時に零にならない」ですが、
g(x)≠g(a)はどうみてもOKです。
(*)より φ'(a)=g'(a)=0 ...おっと!?
……大丈夫です。コーシーの平均値の定理では φ' や g' は(x, a)の範囲でしか考えません。
この範囲では g' は零にはなりません。
φ'(a) や g'(a) は範囲外です。やったね!
ゆえに 定理 2.6 は使えて、等号が成り立つ c1∈(x, a) が存在する。
2回目、区間は(c1, a)になりました。
g'(c1)≠g'(a) (=0) であり、g'' は零とならない。OKです。
ゆえに等号が成り立つ c2∈(c1, a) が存在する。
(n-1)回目までは同様にOKです。
n 回目、g(n) は零とならないOKです。
ゆえに等号が成り立つ cn∈(cn-1, a) が存在する。
ということで、
となる c
n∈(c
n-1, a)が存在する。
c1∈(x, a)
c2∈(c1, a)
c3∈(c2, a)
...
cn∈(cn-1, a)
なので、cn∈(x, a)が成り立つ。
この cn こそが ξ である!
より、
∥
お疲れ様でした、それではテイラー展開に進みましょう。
最終更新:2013年09月01日 00:30