§6 複素数とガウス平面


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(複素数とその四則、共役複素数、絶対値、偏角)

 \mathbb{C}=\{ x+iy | x, y \in \mathbb{R}, i^2=-1 \} 複素数 という。

C には四則が定められる。
\begin{align} (a+ib) \pm (c+id) &= (a \pm c)+i(b \pm d) \\ (a+ib) (c+id) &= (ac-bd)+i(ad+bc) \\ \frac{a+ib}{c+id} &= \frac{ (a+ib) (c-id) }{ c^2 + d^2 } \end{align}

z=x+iy の 絶対値 |z| を、
|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x+iy)(x-iy)}=\sqrt{z \cdot \bar z} とする。
(\bar z=x-iy を z の 共役複素数 という。)

z の 偏角 θ を、
 \cos \theta =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \ \  \sin \theta =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} で定める。
z=0 のときの θ はすべての実数とする。ここでは深く考えない。

C を平面状の点と同一視した場合、この平面を 複素平面 とか ガウス平面 と呼ぶことがある。
絶対値は、原点からの距離に相当する。

任意の複素数は、絶対値と偏角によって  z=r(\cos \theta + i \sin \theta) と表せる。
z=0 のときも成り立つ。
特に、絶対値1の複素数は cosθ+isinθ と書けて、単位円に相当する。

命題 1.11
絶対値 r, 偏角 α の複素数 r(cosα+isinα) に、
絶対値 s, 偏角 β の複素数 s(cosβ+isinβ) をかけると、
絶対値が s 倍され、偏角が β だけ増加し、
積は、rs(cos(α+β)+isin(α+β)) となる。
Proof.
三角関数の加法定理よりすぐに示せる。 ∥

これにより、f(θ)=cosθ+isinθ が
df(θ)/dθ=if(θ), f(α)f(β)=f(α+β), f(0)=1 を満たすことが確かめられる。
これは、f(θ)=e としたときと同じ性質であり、次の定理を予感させる。

定理 1.12 (オイラーの公式)
e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta

本来は 定義 1.14 (指数関数、三角関数の定義) の直後で登場する定理。
証明は 定義 1.14 に代入するだけなので、各自で。(やって見せても意味が無い)


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