2章 微分法 > 定理・定義・命題の一覧


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§1 導関数


定義 2.1 (微分可能、微分係数とは)
命題 2.2

§2 平均値の定理


命題 2.3 (極値の必要条件)
f(x) は微分可能とする。
f(x) が c で極大(小)となれば f'(c)=0

定理 2.4 (ロルの定理)
 応用↓ ↑ f(a)=f(b) の場合
定理 2.5 (平均値の定理)
 応用↓ ↑ g(x)=x の場合
定理 2.6 (コーシーの平均値の定理)
定理 2.4 (ロルの定理)
f(x) が[a, b]で連続、(a, b)で微分可能とし、
f(a)=f(b) であるとする。
このとき、ある点 c∈(a, b) が存在して、f'(c)=0となる。
定理 2.5 (平均値の定理)
f(x) が[a, b]で連続、(a, b)で微分可能とすると、
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)
となる c∈(a, b) が存在する。
定理 2.6 (コーシーの平均値の定理)
f, g が[a, b]で連続、(a, b)で微分可能とする。
さらに、g(a)≠g(b) で、f'(x) と g'(x) は同時に零にならないものとする。
このとき、
 \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}
となる c∈(a, b) が存在する。

定理 2.7 (テイラーの定理)
この定理に限り、[a, x], (a, x)は a>x のとき[x, a], (x, a)のこととする。

f(x) が[a, x]で連続、(a, x)で n 回微分可能とする。
 f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f' '(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1} \  + \  R_n
 R_n=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-a)^n
をみたす ξ が(a, x)に存在する。

このR_nを剰余項、(またはラグランジュの剰余項)と呼ぶ。

§3 平均値の定理の応用:単調増加性と凸性


定理 2.8 (アーベルの定理)
定理 2.9
定義 2.10 (単調増加とは)
定理 2.11
定義 2.12 (下に凸とは)
定理 2.13

§4 偏微分


(偏微分可能、偏導関数とは)
(全微分可能とは)
命題 2.14 (偏導関数の順序交換)

§5 2変数関数の微分


定義 2.15 ((全)微分可能とは)
定理 2.16

§6 2変数のテーラーの公式


(方向微分)
\phi'(t)=\left(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y}\right)f(a+\alpha t, b+\beta t)
命題 2.17 (高階の方向微分の二項展開)
f(x, y) は十分滑らか、すなわち高階の偏導関数(\tfrac{\partial}{\partial x})^k(\tfrac{\partial}{\partial y})^{m-k}f(x, y)が存在して連続であるとする。(m≫1, k=0, 1, ... ,m)
(つまり、偏導関数 ∂/∂x と ∂/∂y の順序が交換できる。)
このとき、 \left(\frac{d}{dt}\right)^m\phi(t) = \phi^{(m)}(t) = \left(\alpha\frac{\partial}{\partial x}+\beta\frac{\partial}{\partial y}\right)^m f(a+\alpha t, b+\beta t)が成り立つ。

ここで、(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^mf(x, y)
\sum^m_{k=0}\alpha^k\beta^{m-k}\binom{m}{k}\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^k\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^{m-k}\!\!f(x, y) の略記である。
\tbinom{m}{k}は二項係数 m C k のことである。
命題 2.18 (2変数のテーラーの公式)
\begin{align} f(a+\alpha, b & +\beta)=f(a, b)+(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})f(a, b)+\frac{1}{2!}(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^2f(a, b)+\cdots \\ & +\frac{1}{(n-1)!}(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^{n-1}f(a, b)\ \ +\frac{1}{n!}(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^nf(a+\theta\alpha, b+\theta\beta) \end{align}
を満たす実数 0<θ<1 が存在する。

§7 2次形式


(2次形式)
実数 a, b, c に対して、
\begin{align} f(x, y) &amp;= ax^2+2bxy+cy^2 \\ &amp;= \begin{pmatrix} x &amp; y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a &amp; b \\ b &amp; c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align}
2次形式と呼ぼう。
定義 2.19 (正値とは)
2次形式 f(x, y) が正値であるとは、
(x, y)≠0 ならば f(x, y)>0 となることと定める。
定義 2.20 (固有値、固有ベクトルとは)
A=\big(\begin{smallmatrix}a&amp;b\\c&amp;d\end{smallmatrix} \big) に対して、ある実数 λ と零でない実ベクトル \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) \ne \big(\begin{smallmatrix}0\\0\end{smallmatrix} \big) が存在して、
 A \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} が成立しているとき、
λ を A の(実の)固有値、 \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) を固有値 λ の固有ベクトルと呼ぶ。
命題 2.21 (固有値と特性方程式)
λ が A=\big(\begin{smallmatrix}a&amp;b\\c&amp;d\end{smallmatrix} \big) の固有値 ⇔ λ は \det(A-\lambda E)=0 の実根

この det(A-λE)=0 を特性方程式という  (ただし E は2次の単位行列)
命題 2.22
実対称行列A=\big(\begin{smallmatrix}a&amp;b\\b&amp;c\end{smallmatrix} \big) の特性方程式の解は2つとも実数。
(内積)
 \vec u = \begin{pmatrix}u_x\\u_y\end{pmatrix}, \vec v = \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix} に対して、
内積を (\vec u, \vec v) = u_xv_x+u_yv_y と定める。

(\vec u, \vec v) = \begin{pmatrix}u_x&amp;u_y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix} とも書ける。

補題 2.23
実対称行列A=\big(\begin{smallmatrix}a&amp;b\\b&amp;c\end{smallmatrix} \big) に対して、(A \vec u, \vec v)=(\vec u, A \vec v) が成立する。
命題 2.24
Aを2次実対称行列とする。このとき、
A の固有値 \lambda_1, \lambda_2 の固有ベクトル \vec u_1, \vec u_2 で、 \mathbb{R}^2 の正規直交基底となるものが存在する。
つまり、(\vec u_1, \vec u_1)=1, (\vec u_2, \vec u_2)=1, (\vec u_1, \vec u_2)=0をみたす。
命題 2.25
次は同値。
(1) f(x, y) = ( x \  y ) \big(\begin{smallmatrix} a &amp; b \\ b &amp; c \end{smallmatrix}\big) \big(\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\big) は正値。
(2)  \big(\begin{smallmatrix}a&amp;b\\c&amp;d\end{smallmatrix} \big) の固有値 λ 1 , λ 2 がともに正。
(3) a>0 かつ  \big|\begin{smallmatrix}a&amp;b\\c&amp;d\end{smallmatrix} \big| &gt; 0

§8 曲面の極値


(接平面に関する必要条件)
十分滑らかな曲面 z=f(x, y) を考える。

点(x, y)=(a, b)で極値をとるためには
 \begin{cases} f_x(a, b)=0 \\ f_y(a, b)=0 \end{cases} \cdots (*)
となることが必要。
ヘッセ行列と呼ばれる実対称行列  H(x, y) = \begin{pmatrix} f_{xx}(x, y) &amp; f_{xy}(x, y) \\ f_{xy}(x, y) &amp; f_{yy}(x, y) \end{pmatrix} を用いると、

 f(a+\alpha, b+\beta)-f(a, b) \cong \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \alpha &amp; \beta \end{pmatrix} H(a, b) \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}

命題 2.26 (ヘッセ行列式による極値判定)
z=f(x, y) を十分滑らかな曲面とする。
さらに、点(x, y)=(a, b)で f x (a, b)=f y (a, b)=0 となっているとする。
このとき、
(1)  |H(a, b)|&gt;0 なら極値で、

  f xx (a, b)>0 なら極大点。
  f xx (a, b)<0 なら極小点。

(2)  |H(a, b)|&lt;0 なら峠点。

 |H(a, b)|=0 の場合は判定できないので、他の方法を考える必要がある。


1学期最終講義

(合成関数の微分)
f(x), g(x) が微分可能なとき、\frac{d}{dx}f(g(x))=g'(x)f'(g(x))

(対数微分)
f'(x)=f(x) \cdot \frac{d}{dx}\log f(x)
たとえば、 \frac{d}{dx} x^x = x^x (\log x + 1)

( i の i 乗)
 i^i = e^{\left-\frac{\pi}{2}-2n\pi\right} \quad (n\in\mathbb{R})
(-1)^i=(i^i)^2

黄金比 \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} の連分数分解は、

\phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ddots}} }}

 \tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \cdots


以上。