2章微分法/定理・定義・命題の一覧 - 2013年度夏学期数学1B白石潤一

定理 2.6 (コーシーの平均値の定理)
f, g が[a, b]で連続、(a, b)で微分可能とする。
さらに、g(a)≠g(b) で、f'(x) と g'(x) は同時に零にならないものとする。
このとき、
$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$
となる c∈(a, b) が存在する。

定理 2.7 (テイラーの定理)
この定理に限り、[a, x], (a, x)は a>x のとき[x, a], (x, a)のこととする。

f(x) が[a, x]で連続、(a, x)で n 回微分可能とする。
$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f' '(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1} \ + \ R_n$

$R_n=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-a)^n$
をみたす ξ が(a, x)に存在する。

この $R_n$ を剰余項、(またはラグランジュの剰余項)と呼ぶ。

§3 平均値の定理の応用:単調増加性と凸性

定理 2.8 (アーベルの定理)

定理 2.9

定義 2.10 (単調増加とは)

定理 2.11

定義 2.12 (下に凸とは)

定理 2.13

§4 偏微分

(偏微分可能、偏導関数とは)

(全微分可能とは)

命題 2.14 (偏導関数の順序交換)

§5 2変数関数の微分

定義 2.15 ((全)微分可能とは)

定理 2.16

問

§6 2変数のテーラーの公式

(方向微分)
$\phi'(t)=\left(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y}\right)f(a+\alpha t, b+\beta t)$

命題 2.17 (高階の方向微分の二項展開)
f(x, y) は十分滑らか、すなわち高階の偏導関数 $(\tfrac{\partial}{\partial x})^k(\tfrac{\partial}{\partial y})^{m-k}f(x, y)$ が存在して連続であるとする。(m≫1, k=0, 1, ... ,m)
(つまり、偏導関数 ∂/∂x と ∂/∂y の順序が交換できる。)
このとき、 $\left(\frac{d}{dt}\right)^m\phi(t) = \phi^{(m)}(t) = \left(\alpha\frac{\partial}{\partial x}+\beta\frac{\partial}{\partial y}\right)^m f(a+\alpha t, b+\beta t)$ が成り立つ。

ここで、 $(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^mf(x, y)$ は
$\sum^m_{k=0}\alpha^k\beta^{m-k}\binom{m}{k}\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^k\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^{m-k}\!\!f(x, y)$ の略記である。
$\tbinom{m}{k}$ は二項係数_mC_kのことである。

命題 2.18 (2変数のテーラーの公式)
$\begin{align} f(a+\alpha, b & +\beta)=f(a, b)+(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})f(a, b)+\frac{1}{2!}(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^2f(a, b)+\cdots \\ & +\frac{1}{(n-1)!}(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^{n-1}f(a, b)\ \ +\frac{1}{n!}(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^nf(a+\theta\alpha, b+\theta\beta) \end{align}$
を満たす実数 0<θ<1 が存在する。

(2次形式)
実数 a, b, c に対して、
$\begin{align} f(x, y) &= ax^2+2bxy+cy^2 \\ &= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align}$
を2次形式と呼ぼう。

定義 2.19 (正値とは)
2次形式 f(x, y) が正値であるとは、
(x, y)≠0 ならば f(x, y)>0 となることと定める。

定義 2.20 (固有値、固有ベクトルとは)
$A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big)$ に対して、ある実数 λ と零でない実ベクトル $\big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) \ne \big(\begin{smallmatrix}0\\0\end{smallmatrix} \big)$ が存在して、
$A \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ が成立しているとき、
λ を A の(実の)固有値、 $\big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big)$ を固有値 λ の固有ベクトルと呼ぶ。

命題 2.21 (固有値と特性方程式)
λ が $A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big)$ の固有値 ⇔ λ は $\det(A-\lambda E)=0$ の実根

この det(A-λE)=0 を特性方程式という　　(ただし E は2次の単位行列)

命題 2.22
実対称行列 $A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&c\end{smallmatrix} \big)$ の特性方程式の解は2つとも実数。

(内積)
$\vec u = \begin{pmatrix}u_x\\u_y\end{pmatrix}, \vec v = \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}$ に対して、
内積を $(\vec u, \vec v) = u_xv_x+u_yv_y$ と定める。

$(\vec u, \vec v) = \begin{pmatrix}u_x&u_y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}$ とも書ける。

補題 2.23
実対称行列 $A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&c\end{smallmatrix} \big)$ に対して、 $(A \vec u, \vec v)=(\vec u, A \vec v)$ が成立する。

命題 2.24
Aを2次実対称行列とする。このとき、
A の固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ の固有ベクトル $\vec u_1, \vec u_2$ で、 $\mathbb{R}^2$ の正規直交基底となるものが存在する。
つまり、 $(\vec u_1, \vec u_1)=1, (\vec u_2, \vec u_2)=1, (\vec u_1, \vec u_2)=0$ をみたす。

命題 2.25
次は同値。
(1) $f(x, y) = ( x \ y ) \big(\begin{smallmatrix} a & b \\ b & c \end{smallmatrix}\big) \big(\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\big)$ は正値。
(2) $\big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big)$ の固有値 λ₁, λ₂ がともに正。
(3) a>0 かつ $\big|\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big| > 0$

§8 曲面の極値

(接平面に関する必要条件)
十分滑らかな曲面 z=f(x, y) を考える。

点(x, y)=(a, b)で極値をとるためには
$\begin{cases} f_x(a, b)=0 \\ f_y(a, b)=0 \end{cases} \cdots (*)$
となることが必要。

ヘッセ行列と呼ばれる実対称行列 $H(x, y) = \begin{pmatrix} f_{xx}(x, y) & f_{xy}(x, y) \\ f_{xy}(x, y) & f_{yy}(x, y) \end{pmatrix}$ を用いると、

$f(a+\alpha, b+\beta)-f(a, b) \cong \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \alpha & \beta \end{pmatrix} H(a, b) \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$

命題 2.26 (ヘッセ行列式による極値判定)
z=f(x, y) を十分滑らかな曲面とする。
さらに、点(x, y)=(a, b)で f_x(a, b)=f_y(a, b)=0 となっているとする。
このとき、
(1) $|H(a, b)|&gt;0$ なら極値で、

　　f_xx(a, b)>0 なら極大点。
　　f_xx(a, b)<0 なら極小点。

(2) $|H(a, b)|&lt;0$ なら峠点。

$|H(a, b)|=0$ の場合は判定できないので、他の方法を考える必要がある。