テーラー展開の例


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指数関数とその派生


\begin{align}
 e^x & =  1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \\
 \cos x & =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots && \left ( = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} \right ) \\
 \sin x & =  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots && \left ( = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right ) 
\end{align}

 \tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \cdots

二項定理とその派生

二項定理は|x|<1のときしか使えないため、そこから導かれるものも定義域が|x|<1に制限される。
ただし定理 2.8 (アーベルの定理) を用いて、定義域をその端点まで拡張できるものもある。
2本目は幾何級数とよばれる。

\begin{align}
 (1+x)^\alpha & = 1 + \tfrac{\alpha}{1!}x + \tfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \tfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \cdots && (-1<x<1, \alpha \in \mathbb{C}) \\
 \frac{1}{1-x} & =  1 + x + x^2 + x^3 + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty x^n \\
 & (-1<x<1) \\
 \frac{1}{\sqrt{1-x}} & =  1 + \frac{1}{2}x + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}x^2 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}x^3 + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n \\
 & (-1 \le x<1) 
\end{align}

対数関数逆三角関数

対数関数逆三角関数は、

\begin{align}
 -\frac{d}{dx} \log (1-x) & = \frac{1}{1-x}  && =  1 + x + x^2 + x^3 + \cdots & (-1<x<1)\\
 \frac{d}{dx} \arctan x & = \frac{1}{1+x^2}  && =  1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots & (-1<x<1)\\
 \frac{d}{dx} \arcsin x & = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} && =  1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}x^4 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}x^6 + \cdots & (-1<x<1)
\end{align}
と、二項定理とその派生の形に書けるので、

\begin{align}
 -\log (1-x) & =  x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \cdots && = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} \\
 & (-1 \le x<1) \\
 \arctan x & = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots && \left ( = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \right ) \\
 & (-1 \le x \le 1) \\
 \arcsin x & = x + \frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\cdot\frac{x^5}{5} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\cdot\frac{x^7}{7} + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \\
 & (-1 \le x \le 1) 
\end{align}

その他の成果

いろいろ代入すると次が得られる。

\begin{align}
 e&=e^1 &= & 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \\
 \log 2 &&= & 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots && = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} \\
 \frac{\pi}{4}&=\arctan 1 &= & 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots \\
\\
 \frac{\pi}{2}&=\arcsin 1 & = & 1 + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\cdot\frac{1}{5} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\cdot\frac{1}{7} + \cdots 
\end{align}
右辺を見て最左辺が分かれば喜ばれるだろう。


忘れないようにここに書いておくと

 \frac{\pi ^2}{6}= 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}