1章 数 > 定理・定義・命題の一覧


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§1 実数


定義 1.1
実数\mathbb{R}
  • 四則が定められ (省略 気になる人は先生に質問してほしい )
  • 順序が定まり (公理 1.4.1)
  • 連続性の公理を満たし (公理 1.4)
  • アルキメデスの原理が成り立つ (公理 1.2)
ような集合と定める。
公理 1.2 (アルキメデスの原理)
任意の正の実数 \epsilon に対し、自然数Nが存在して
\epsilon N>1となる。

§2 数列


公理 1.4.1 (不等式に関する公理)
+ ...
定義 1.4.2 (絶対値の定義)
省略。
定義 1.3 (収束)
数列a n が実数αに収束するとは、
nを限りなく大きくしたときに |a n -α| が限りなく零に近づくことと定める。
a n がαに収束することを、 \lim_{n \to \infty}a_n = \alphaと書く。

言い換えると、a n がαに収束するとは、
「任意の正の実数 ε>0, ε∈Rに対して、
ある自然数Nが存在して、
任煮の番号n≧Nに対して |a n -α|≦ε となること」。
公理 1.4 (区間縮小法, はさみうちの原理)
閉区間の入れ子 I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots
すなわちI_1=[a_1, b_1], I_2=[a_2, b_2], \ldots (a_1 \le a_2 \le a_3 \le \cdots \le b_3 \le b_2 \le b_1)
があって、
I n の長さ(b n -a n )が零に収束すると仮定する。

このときすべての区間I n に共通に含まれる実数の定数cがただひとつ存在する。
命題 1.5 (四則の極限の交換)
lim a n =α, lim b n =βとする。
(1)lim (a n ±b n )=α±β
(2)lim a n b n =αβ
(3)lim (a n /b n )=α/β (ただしβ≠0)

§4 有界な単調数列の収束性


命題 1.6
上に有界な単調増加数列は収束する。
つまり、a_1 \le a_2 \le \cdots \le Mならば
\lim_{n \to \infty} a_n = \alphaなる実数αが存在する。
命題 1.7 (ピタゴラスの定理)

§5 R^n


定義 1.8 (三角関数の古典的な定義)
命題 1.9 (余弦定理)
定義 1.10 (ユークリッド空間とは)

§6 複素数とガウス平面


定義(複素数とその四則、共役複素数、絶対値、偏角)
 \mathbb{C}=\{ x+iy | x, y \in \mathbb{R}, i^2=-1 \} 複素数 という。

C には四則が定められる。
\begin{align} (a+ib) \pm (c+id) &= (a \pm c)+i(b \pm d) \\ (a+ib) (c+id) &= (ac-bd)+i(ad+bc) \\ \frac{a+ib}{c+id} &= \frac{ (a+ib) (c-id) }{ c^2 + d^2 } \end{align}

z=x+iy の 絶対値 |z| を、
|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x+iy)(x-iy)}=\sqrt{z \cdot \bar z} とする。
(\bar z=x-iy を z の 共役複素数 という。)

z の 偏角 θ を、
 \cos \theta =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \ \  \sin \theta =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} で定める。
z=0 のときの θ はすべての実数とする。ここでは深く考えない。

C を平面状の点と同一視した場合、この平面を 複素平面 とか ガウス平面 と呼ぶことがある。
絶対値は、原点からの距離に相当する。

任意の複素数は、絶対値と偏角によって  z=r(\cos \theta + i \sin \theta) と表せる。
z=0 のときも成り立つ。
特に、絶対値1の複素数は cosθ+isinθ と書けて、単位円に相当する。

命題 1.11
絶対値 r, 偏角 α の複素数 r(cosα+isinα) に、
絶対値 s, 偏角 β の複素数 s(cosβ+isinβ) をかけると、
絶対値が s 倍され、偏角が β だけ増加し、
積は、rs(cos(α+β)+isin(α+β)) となる。
定理 1.12 (オイラーの公式)
e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta

§7 級数


定義(級数について)
a 1 , a 2 , a 3 , ... を実数列とする。
これから得られる数列 s n を、
 \begin{align} s_1&=a_1 \\ s_2&=a_1+a_2 \\ s_3&=a_1+a_2+a_3 \\ \vdots \\ s_n=a_1+a_2+\cdots++a_n \end{align}
と定める。
つまり、 s_n=\sum_{i=1}^n a_i

もし、s n がある実数 α に収束するとき、
つまり、 \lim_{n \to \infty} s_n = \alpha となるとき、
 \sum_{i=1}^\infty a_i = \alpha
と書く。これを無限級数と呼ぶ。
定理 1.13 (オイラー)
 \begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} &= \frac{\pi^2}{6} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} &= \frac{\pi^4}{90} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^6} &= \frac{\pi^6}{945} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^8} &= \frac{\pi^8}{9450} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{10}} &= \frac{\pi^{10}}{93555} \end{align}

§ 三角関数の無限級数表示と無限積表示


定義 1.14 (指数関数、三角関数の定義)
任意の x\in\mathbb{C} に対して、e x , cos x, sin x を次のように定める。
 \begin{align} e^x & =  1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \\ \cos x & =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots && \left ( = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} \right ) \\ \sin x & =  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots && \left ( = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right ) \end{align}
定理 1.15 (オイラーの積公式)
 \sin x = x\prod_{n=1}^\infty \left( 1-\frac{x^2}{n^2\pi^2} \right) = x \left( 1-\frac{x^2}{\pi^2} \right) \left( 1-\frac{x^2}{4\pi^2} \right) \left( 1-\frac{x^2}{9\pi^2} \right) \cdots
命題 1.16 (ウォリスの公式)
 \frac{\pi}{2} = \frac{2\times2}{1\times3} \cdot \frac{4\times4}{3\times5} \cdot \frac{6\times6}{5\times7} \cdot \frac{8\times8}{7\times9} \cdots
定理 (二項定理)
α∈R,|x|<1 に対して、次が成り立つ。
 (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{1 \cdot 2} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} x^3 + \cdots

§9 正項級数の収束条件と交代級数の例


定義(正項級数)
正の項 a n >0 からなる級数  \sum_{n=0}^\infty a_n 正項級数と呼ぼう。

命題 1.17
 \textstyle \sum a_n ,  \textstyle \sum c_n を正項級数、 \textstyle \sum c_n は収束するものとする。
このとき、次が成立。

(1) すべての n について  a_n \le c_n ならば  \textstyle \sum a_n も収束。

(2) すべての n について  \tfrac{a_{n+1}}{a_n} \le \tfrac{c_{n+1}}{c_n} ならば  \textstyle \sum a_n も収束。
命題 1.18 (コーシーの判定法)
0<r<1 なる実数 r が存在して、
ある n 0 以上のすべての整数 n について  \sqrt[n]{a_n} \le r が成立すれば  \textstyle \sum a_n は収束。
命題 1.19 (ダランベールの判定法)
0<r<1 なる実数 r が存在して、
ある n 0 以上のすべての整数 n について  \frac{a_{n+1}}{a_n} \le r が成立すれば  \textstyle \sum a_n は収束。
命題 1.20 (ラーベの判定法)
 -\infty \le r &lt; -1 なる実数 r が存在して、
ある n 0 以上のすべての整数 n について  n \left( \frac{a_{n+1}}{a_n} -1 \right) \le r が成立すれば  \textstyle \sum a_n は収束。

項の正負が交互に入れ替わる無限級数を交代級数という。
命題 1.21
各項の絶対値が単調減少し零に収束する交代級数は収束する。

§ 連続関数


定義 1.22
f(x)が[a, b]に含まれる点yで連続であるとは、
(※) xがyに限りなく近づくときf(x)もf(y)に限りなく近づくこと
と定める。
f(x)が任意のy∈[a, b]で連続のとき
f(x)は[a, b]で連続であるという。
定理 1.23 (中間値の定理)
f(x)が[a, b]で連続、f(a)<0、f(b)>0 とすると、
あるc∈(a, b)においてf(c)=0となる。
定理 1.25
f(x)が[a, b]で連続、内点c∈(a, b)でf(c)>0とする。
このとき、cを含み、任意のx∈Uに対してf(x)>0となるような閉区間Uが存在する。
定理 1.26 (ボルツァーノ=ワイヤシュトラスの定理)
任意の有界な数列a n は、収束する部分列a n(k) をもつ。
言い換えると、
全てのnでa n ∈[a, b]のとき、a n の部分列a n(k)
\lim_{k \to \infty}a_{n(k)}=c \in[a, b]
を満たすものが存在する。
命題 1.27
有界な数の集合A(ただしA≠ø)には上限sup(A)、下限sub(A)が存在する。
定理 1.24 (最大値、最小値の存在)(夏学期の大定理)
[a, b]上の連続関数は、その区間内に最大値、最小値をもつ。

以上。