§4 有界な単調数列の収束性


※上記の広告は60日以上更新のないWIKIに表示されています。更新することで広告が下部へ移動します。

命題 1.6
上に有界な単調増加数列は収束する。
つまり、a_1 \le a_2 \le \cdots \le Mならば
\lim_{n \to \infty} a_n = \alphaなる実数αが存在する。

Proof.
区間[a 1 , M]に対し二分法を用いる。
二分法
ある区間に対し、その区間の中間点を1つ任意にとる。
(断りがなければ二等分点であると考えてよい)
一定の条件をもとに下半分か上半分のどちらかを選び、次の区間とする。
これを繰り返すと、どの区間も前の区間にふくまれ、長さが零に収束する
区間の列が得られるが、公理 1.4 (区間縮小法) によって
すべての区間に含まれるような実数がただ1つ定まる。
条件は、
「上半分にa n が存在すれば上半分を選ぶ。」
得られた実数αは…
厳密なことは省略
…a n の極限に他ならない。∥

(例)

a_n = \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n
は収束する。
この収束値をネイピア数といい、eと書く。

Proof.
まず単調増加であることを示す。
\renewcommand{\arraystretch}{2.0}\begin{array}{llllrcl}
a_n & = \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n \\
    & = 1+\frac{n}{1}\cdot\frac{1}{n}&+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\cdot\frac{1}{n^2}&+&\cdots&+\frac{n(n-1)(n-2)\cdots 1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot\cdots\cdot n}\cdot\frac{1}{n^n} \\
    & = 1+\frac{1}{1}&+\frac{1\left( 1-\frac{1}{n} \right)}{1\cdot 2}&+&\cdots&+\frac{1\left( 1-\frac{1}{n} \right)\left( 1-\frac{2}{n} \right)\cdots\left( 1-\frac{n-1}{n} \right)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot\cdots\cdot n}
\end{array}
一方、
\renewcommand{\arraystretch}{2.0}\begin{array}{lcl}
a_{n+1} = 1+\frac{1}{1}\qquad+\frac{1\left( 1-\frac{1}{n+1} \right)}{1\cdot 2}\quad+&\cdots&+\frac{1\left( 1-\frac{1}{n+1} \right)\left( 1-\frac{2}{n+1} \right)\cdots\left( 1-\frac{n-1}{n+1} \right)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot\cdots\cdot n}\\
&&\quad+\frac{1\left( 1-\frac{1}{n+1} \right)\left( 1-\frac{2}{n+1} \right)\cdots\left( 1-\frac{n}{n+1} \right)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot\cdots\cdot (n+1)} \end{array}
各項a n+1 の方が大きく、かつa n+1 の方が1項多いので、a n+1 >a n
次に上に有界であることを示す。
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}\begin{array}{rllllrcl}
a_n = &1&+\frac{1}{1}&+\frac{1\left( 1-\frac{1}{n} \right)}{1\cdot 2}&+\frac{1\left( 1-\frac{1}{n} \right)\left( 1-\frac{2}{n} \right)}{1\cdot 2\cdot 3}&+&\cdots&+\frac{1\left( 1-\frac{1}{n} \right)\left( 1-\frac{2}{n} \right)\cdots\left( 1-\frac{n-1}{n} \right)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot\cdots\cdot n} \\
    < &1&+\frac{1}{1}&+\frac{1\cdot 1}{1\cdot 2}&+\frac{1\cdot 1\cdot 1}{1\cdot 2\cdot 3}&+&\cdots&+\frac{1\cdot 1\cdot 1\cdot\cdots\cdot 1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot\cdots\cdot n} \\
\end{array}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}\begin{array}{lrlllll}
   &< &1&+\frac{1}{1}&+\frac{1\cdot 1}{1\cdot 2}\qquad&+\frac{1\cdot 1\cdot 1}{1\cdot 2\cdot 3}\qquad\quad&+\cdots+\frac{1\cdot 1\cdot 1\cdot\cdots\cdot 1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot\cdots\cdot n} +\cdots\\
   &< &1&+\frac{1}{1}&+\frac{1}{1\cdot 2}&+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 2}&+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 2\cdot 2}+\cdots \\
   &< &1&+2 \\
\qquad\qquad . &= &3
\end{array}

次:§5 R^n