§2 数列


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公理 1.4.1 (不等式に関する公理)
+ ...
定義 1.4.2 (絶対値の定義)
省略。

(a_n)_{n\in N}と書いたら、 a_0, a_1, a_2, \ldotsのこととする。
これ以降は、a_n \in Rとする。すなわち、無限実数列を考える。

定義 1.3 (収束)
数列a n が実数αに収束するとは、
nを限りなく大きくしたときに |a n -α| が限りなく零に近づくことと定める。
a n がαに収束することを、 \lim_{n \to \infty}a_n = \alphaと書く。

言い換えると、a n がαに収束するとは、
「任意の正の実数 ε>0, ε∈Rに対して、
ある自然数Nが存在して、
任煮の番号n≧Nに対して |a n -α|≦ε となること」。

言い換えた後で使われている言い回しは ε-N論法 などと呼ばれ恐れられているが、
収束についての正確な議論のためには不可欠である。
ただ、 数学1Bを履修する限りでは重要ではないし、試験では全く問われないだろう。
実は公理 1.4 や命題 1.5 などの中で無意識に使われている。

(例)
a_n = 1/n \ (n=1, 2, 3, \ldots) とすると、 \lim_{n \to \infty} a_n = 0
+ plus 証明


公理 1.4 (区間縮小法, はさみうちの原理)
閉区間の入れ子 I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots
すなわちI_1=[a_1, b_1], I_2=[a_2, b_2], \ldots (a_1 \le a_2 \le a_3 \le \cdots \le b_3 \le b_2 \le b_1)
があって、
I n の長さ(b n -a n )が零に収束すると仮定する。

このときすべての区間I n に共通に含まれる実数の定数cがただひとつ存在する。

(例)
x 2 =2, x>0を満たす実数xがただひとつ存在する。
Proof.

\begin{array}{ll}
  a_1=1 & b_1=2 \\
  a_2=1.4 & b_2=1.5 \\
  a_3=1.41 & b_3=1.42 \\
  \vdots & \vdots
\end{array}
とすると、
I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdotsかつ
\lim_{n \to \infty} (b_n-a_n) = 0
となるから、
全てのI n に含まれる実数cがただひとつ存在する。
ここで証明終わりではない!
「I n に含まれる」と「x 2 =2, x>0」の関係をここから述べる。
 a_n^2 \le 2 \le b_n^2 だから、
\begin{align} & 0 \le 2-a_n^2 \le b_n^2-a_n^2, \\ & 0 \le b_n^2-2 \le b_n^2-a_n^2 \end{align}
最右辺は
 b_n^2-a_n^2 = (b_n+a_n)(b_n-a_n) \le (2+2)(b_n-a_n) \xrightarrow{n \to \infty} 0
なので、
 \lim_{n \to \infty}a_n^2=\lim_{n \to \infty}b_n^2=2 が得られる。
a n ≦c≦b n より、
 0=\lim(b_n^2-a_n^2)=\underbrace{\lim(b_n^2-c^2)}_{\ge 0}+\underbrace{\lim(c^2-a_n^2)}_{\ge 0}
よって、 \lim(b_n^2-c^2)=\lim(c^2-a_n^2)=0
ゆえに、 c^2=\lim a_n^2=2
また、0<a n ≦cより、c>0 ∥
(例)おわり

命題 1.5 (四則の極限の交換)
lim a n =α, lim b n =βとする。
(1)lim (a n ±b n )=α±β
(2)lim a n b n =αβ
(3)lim (a n /b n )=α/β (ただしβ≠0)
Proof.
(1)  0 \le |a_n+b_n-(\alpha+\beta)| \le |a_n-\alpha|+|b_n-\beta| \xrightarrow{n \to \infty} 0
(2)  0 \le |a_nb_n-\alpha\beta| = |a_nb_n-a_n\beta+a_n\beta-\alpha\beta| \le |a_n||b_n-\beta|+|a_n-\alpha||\beta| \xrightarrow{n \to \infty} 0
(3)  \lim (1/b_n) = 1/\beta を示せば(2)より示される。
 \left|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{\beta}\right| = \left|\frac{\beta-b_n}{b_n\beta}\right| = \frac{|\beta-b_n|}{|b_n||\beta|} \xrightarrow{n \to \infty} 0


次:§4 有界な単調数列の収束性