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定義(級数について)

a&sub(){1}, a&sub(){2}, a&sub(){3}, ... を実数列とする。
これから得られる数列 s&sub(){n} を、
$$ \begin{align} s_1&=a_1 \\ s_2&=a_1+a_2 \\ s_3&=a_1+a_2+a_3 \\ \vdots \\ s_n&=a_1+a_2+\cdots+a_n \end{align} $$
と定める。
つまり、$$ s_n=\sum_{i=1}^n a_i $$

(例)
$$ a_n=\frac{1}{2^n} $$ のとき、

$$ s_n=\sum_{i=0}^n \frac{1}{2^n} = \frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}\xrightarrow{n\to\infty}\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2 $$


もし、s&sub(){n} がある実数 α に収束するとき、
つまり、$$ \lim_{n \to \infty} s_n = \alpha $$ となるとき、
$$ \sum_{i=1}^\infty a_i = \alpha $$
と書く。これを無限級数と呼ぶ。

(例)
|x|<1 のとき、
$$ \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x} $$


#blockquote(){{{定理 1.13 (オイラー)
$$ \begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} &= \frac{\pi^2}{6} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} &= \frac{\pi^4}{90} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^6} &= \frac{\pi^6}{945} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^8} &= \frac{\pi^8}{9450} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{10}} &= \frac{\pi^{10}}{93555} \end{align} $$}}}

一方で、
$$ \begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} &= 1.20205\ldots \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} &= 1.03692\ldots \end{align} $$
など、奇数の場合は半端な値になる。&sub(){詳しくは、ゼータ関数で各自検索してほしい。}

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*次:[[§ 三角関数の無限級数表示と無限積表示]]