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*合成関数の微分
省略します。
#blockquote(){{{f(x), g(x) が微分可能なとき、$$\frac{d}{dx}f(g(x))=g'(x)f'(g(x))$$}}}

*対数微分
$$\frac{d}{dx}\log f(x) =\frac{f'(x)}{f(x)}$$ より、
#blockquote(){{{$$f'(x)=f(x) \cdot \frac{d}{dx}\log f(x)$$}}}

「f(x) の微分は難しいけど log f(x) なら僕にも微分できる！」
というときに使えます。

(例)
$$ f(x)=x^x $$

log f(x) = x log x なので、
$$ \frac{d}{dx} \log f(x) = \log x + 1 $$
ゆえに、
$$ f'(x) = x^x (\log x + 1) $$

>$$ \frac{d}{dx} x^x = x^x (\log x + 1) $$

*オイラーの公式
$$ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta $$
の使い方。
(例)
$$ e^\frac{i\pi}{3}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} $$
(例)
$$ i^i $$
無理やりだが、$$ i = \cos\big(\frac{\pi}{2}+2n\pi\big)+i\sin\big(\frac{\pi}{2}+2n\pi\big) = e^{\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)i} \quad (n\in\mathbb{R}) $$
したがって、$$ i^i = \left(e^{\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)i}\right)^i =e^{\left-\frac{\pi}{2}-2n\pi\right} \quad (n\in\mathbb{R}) $$
計算結果が一意に定まらないが、これでよい。

ところで、
$$(-1)^i=(i^i)^2$$ とかいう変形スキルはあってもいいと思う。

*連分数
>実数 a は整数部分と小数部分に分けられる。
>小数部分が 0 ならおわりにして、そうでなければ
>小数部分を「何分の１」と書くと、分母は1以上の実数。
>よって、0でない整数部分と、小数部分に分けられる。
>小数部分が 0 ならおわりにして、そうでなければ
>小数部分を「何分の１」と書くと、……
>
>これを続けることにより、整数部分からなる数列が得られる。
>この数列を a の連分数展開という。

性質

>有理数を連分数展開すると有限で終了する。
>無理数を連分数展開すると無限に続く。

有理数とは、「整数係数の1次方程式の解」でした。
無理数のうち、
>「整数係数の2次方程式の解」を連分数展開すると循環する。

したがって、整数の平方根は循環する。

<計算方法>
値を計算して、整数部分がいくつになるか調べる。
小数部分の逆数をとる。
この２つを繰り返す。

逆に、連分数展開が与えられたときは、
$$ X = 2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\ddots}}}} $$
とおく。
$$ 2+\frac{1}{X} = 2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\ddots}}}} $$
なので、
$$ X = 2+\frac{1}{X} $$
両辺に X をかけて解くと、
$$ X = 1\pm\sqrt{2} $$
ここで、連分数分解の最初に注目すると 0 < 1/X < 1 なので、
$$ X = 1 + \sqrt{2} $$と分かる。

***覚えておいたほうがよいもの
>黄金比$$ \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $$の連分数分解は、
>
>$$\phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ddots}}}} $$

*tan x のテイラー展開
任意の実数 x に対し次が成り立つ。

$$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots }{ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots } $$

このままでは計算できないので、分数をやめるために
$$ \frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\cdots $$
の 1-x に cos x を代入することを考える。

$$ \begin{align} \tan x &= \frac{ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots }{ 1 - \left( \frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} - \cdots \right) } \\ &= \big(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\big)\Big\{ 1 + \Big(\frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} - \cdots \Big) + \Big(\frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} - \cdots \Big)^2 + \cdots \Big\}  \end{align} $$

がんばって展開していくと、
$$ \tan x = x^1 + x^3\Big(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\Big) + x^5\Big(-\frac{1}{4!}+\Big(\frac{1}{2!}\Big)^2-\frac{1}{3!}\cdot\frac{1}{2!}+\frac{1}{5!}\Big) + \cdots $$
>$$ \tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \cdots$$
ここまで覚えれば十分です。なお、詳しくは
$$ \tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \frac{62}{2835}x^9 + \frac{1382}{155925}x^{11} + \cdots $$
です。

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*(終)

*合成関数の微分
省略します。
#blockquote(){{{f(x), g(x) が微分可能なとき、$$\frac{d}{dx}f(g(x))=g'(x)f'(g(x))$$}}}

*対数微分
$$\frac{d}{dx}\log f(x) =\frac{f'(x)}{f(x)}$$ より、
#blockquote(){{{$$f'(x)=f(x) \cdot \frac{d}{dx}\log f(x)$$}}}

「f(x) の微分は難しいけど log f(x) なら僕にも微分できる！」
というときに使えます。

(例)
$$ f(x)=x^x $$

log f(x) = x log x なので、
$$ \frac{d}{dx} \log f(x) = \log x + 1 $$
ゆえに、
$$ f'(x) = x^x (\log x + 1) $$

>$$ \frac{d}{dx} x^x = x^x (\log x + 1) $$

*オイラーの公式
$$ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta $$
の使い方。
(例)
$$ e^\frac{i\pi}{3}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} $$
(例)
$$ i^i $$
無理やりだが、$$ i = \cos\big(\frac{\pi}{2}+2n\pi\big)+i\sin\big(\frac{\pi}{2}+2n\pi\big) = e^{\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)i} \quad (n\in\mathbb{R}) $$
したがって、$$ i^i = \left(e^{\left(\frac{\pi}{2}+2n\pi\right)i}\right)^i =e^{\left-\frac{\pi}{2}-2n\pi\right} \quad (n\in\mathbb{R}) $$
計算結果が一意に定まらないが、これでよい。

ところで、
$$(-1)^i=(i^i)^2$$ とかいう変形スキルはあってもいいと思う。

*連分数
>実数 a は整数部分と小数部分に分けられる。
>小数部分が 0 ならおわりにして、そうでなければ
>小数部分を「何分の１」と書くと、分母は1以上の実数。
>よって、0でない整数部分と、小数部分に分けられる。
>小数部分が 0 ならおわりにして、そうでなければ
>小数部分を「何分の１」と書くと、……
>
>これを続けることにより、整数部分からなる数列が得られる。
>この数列を a の連分数展開という。

性質

>有理数を連分数展開すると有限で終了する。
>無理数を連分数展開すると無限に続く。

有理数とは、「整数係数の1次方程式の解」でした。
無理数のうち、
>「整数係数の2次方程式の解」を連分数展開すると循環する。

したがって、整数の平方根は循環する。

''<計算方法>''
値を計算して、整数部分がいくつになるか調べる。
小数部分の逆数をとる。
この２つを繰り返す。

逆に、連分数展開が与えられたときは、
$$ X = 2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\ddots}}}} $$
とおく。
$$ 2+\frac{1}{X} = 2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\ddots}}}} $$
なので、
$$ X = 2+\frac{1}{X} $$
両辺に X をかけて解くと、
$$ X = 1\pm\sqrt{2} $$
ここで、連分数分解の最初に注目すると 0 < 1/X < 1 なので、
$$ X = 1 + \sqrt{2} $$と分かる。

***覚えておいたほうがよいもの
>黄金比$$ \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $$の連分数分解は、
>
>$$\phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ddots}}}} $$

*tan x のテイラー展開
任意の実数 x に対し次が成り立つ。

$$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots }{ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots } $$

このままでは計算できないので、分数をやめるために
$$ \frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\cdots $$
の 1-x に cos x を代入することを考える。

$$ \begin{align} \tan x &= \frac{ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots }{ 1 - \left( \frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} - \cdots \right) } \\ &= \big(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots\big)\Big\{ 1 + \Big(\frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} - \cdots \Big) + \Big(\frac{x^2}{2!} - \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} - \cdots \Big)^2 + \cdots \Big\}  \end{align} $$

がんばって展開していくと、
$$ \tan x = x^1 + x^3\Big(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\Big) + x^5\Big(-\frac{1}{4!}+\Big(\frac{1}{2!}\Big)^2-\frac{1}{3!}\cdot\frac{1}{2!}+\frac{1}{5!}\Big) + \cdots $$
>$$ \tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \cdots$$
ここまで覚えれば十分です。なお、詳しくは
$$ \tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \frac{62}{2835}x^9 + \frac{1382}{155925}x^{11} + \cdots $$
です。

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*(終)