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実数 a, b, c に対して、
$$\begin{align} f(x, y) &= ax^2+2bxy+cy^2 \\ &= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align}$$
を''2次形式''と呼ぼう。
>右辺を2つ書いたが、意味は同じ。
>$$\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&c\end{smallmatrix} \big)$$は実対称行列であることに注意。

#blockquote(){{{定義 2.19 (正値とは)
2次形式 f(x, y) が正値であるとは、
(x, y)≠0 ならば f(x, y)>0 となることと定める。}}}

(例)
f(x, y)=x&sup(){2}+y&sup(){2} は正値。
f(x, y)=xy は正値でない。


#blockquote(){{{定義 2.20 (固有値、固有ベクトルとは)
$$A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big) $$ に対して、ある実数 λ と&u(){零でない}実ベクトル$$ \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) \ne \big(\begin{smallmatrix}0\\0\end{smallmatrix} \big) $$が存在して、
$$ A \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} $$ が成立しているとき、
λ を A の(実の)固有値、$$ \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) $$を固有値 λ の固有ベクトルと呼ぶ。}}}
#blockquote(){{{命題 2.21 (固有値と特性方程式)
λ が $$A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big) $$ の固有値 ⇔ λ は $$\det(A-\lambda E)=0$$ の実根

この det(A-λE)=0 を''特性方程式''という　　(ただし E は2次の単位行列)}}}
$$\det(A-\lambda E) = \begin{vmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{vmatrix}=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=\lambda^2-(a+d)\lambda+ad-bc$$
'''Proof.'''
「→」
$$ A \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) = \lambda \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) $$ より、
$$ (A-\lambda E) \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} $$
もし(A-λE)が正則なら(A-λE)&sup(){-1}を左からかけることにより$$ \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} $$となって仮定に反する。
よって(A-λE)は正則でない。すなわちdet(A-λE)=0
｢←」
det(A-λE)=0 のとき、det(A-λE)を計算した上の式を見れば分かる通り、
$$ \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}d-\lambda\\-c\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-b\\a-\lambda\end{pmatrix} $$ はどちらも
$$ (A-\lambda E) \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} $$ をみたす。
ただし、この(x y)が両方とも零ベクトルになるようなら(x y)=(1 1)などがこの式を満たす。
よって、$$ A \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) = \lambda \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) $$を満たし零ベクトルでない(x y)が存在する。 ∥

#blockquote(){{{命題 2.22
実対称行列$$A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&c\end{smallmatrix} \big) $$ の特性方程式の解は2つとも実数。}}}
'''Proof.'''
$$\det(A-\lambda E) = \begin{vmatrix} a-\lambda & b \\ b & c-\lambda \end{vmatrix}=(a-\lambda)(c-\lambda)-b^2=\lambda^2-(a+c)\lambda+ac-b^2 = 0$$

$$\therefore \lambda = \frac{(a+c)\pm\sqrt{(a+c)^2-4ac+4b^2}}{2}$$
ルートの中身は $$(a+c)^2-4ac+4b^2=(a-c)^2+4b^2\ge0$$
よってλは実数。 ∥

>一般の n に対しても、n 次の実対称行列の固有値はすべて実数。らしい。

$$ \vec u = \begin{pmatrix}u_x\\u_y\end{pmatrix}, \vec v = \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix} $$ に対して、
内積を $$(\vec u, \vec v) = u_xv_x+u_yv_y$$ と定める。

$$(\vec u, \vec v) = \begin{pmatrix}u_x&u_y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}$$ とも書ける。

#blockquote(){{{補題 2.23
実対称行列$$A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&c\end{smallmatrix} \big) $$ に対して、$$(A \vec u, \vec v)=(\vec u, A \vec v)$$ が成立する。}}}
'''Proof.'''
もちろん成分を計算すれば示せるが、もっと楽にやりたいと思う。
$$(\vec u, \vec v) = \begin{pmatrix}u_x&u_y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix} = {}^t\vec u \vec v$$
と行列の転置を使って書ける。
&sup(){t}A=A に注意すれば、
$${}^t(A\vec u)={}^t\vec u \ {}^t\!A={}^t\vec u A$$
よって、
$$\begin{align}(A \vec u, \vec v)&={}^t(A\vec u) \vec v\\&=({}^t\vec u A) \vec v\\&={}^t\vec u (A \vec v)\\&=(\vec u, A \vec v)\end{align}$$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∥
#blockquote(){{{命題 2.24
Aを2次実対称行列とする。このとき、
A の固有値 $$\lambda_1, \lambda_2$$ の固有ベクトル $$\vec u_1, \vec u_2$$ で、 $$\mathbb{R}^2$$ の正規直交基底となるものが存在する。
つまり、$$(\vec u_1, \vec u_1)=1, (\vec u_2, \vec u_2)=1, (\vec u_1, \vec u_2)=0$$をみたす。}}}
'''Proof.'''
省略。

#blockquote(){{{命題 2.25
次は同値。
(1) $$f(x, y) = ( x \  y ) \big(\begin{smallmatrix} a & b \\ b & c \end{smallmatrix}\big) \big(\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\big)$$ は正値。
(2) $$ \big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big) $$の固有値 λ&sub(){1}, λ&sub(){2} がともに正。
(3) a>0 かつ $$ \big|\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big| > 0 $$}}}
'''Proof.'''
省略。

----
*次:§8 曲面の極値

実数 a, b, c に対して、
$$\begin{align} f(x, y) &= ax^2+2bxy+cy^2 \\ &= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align}$$
を''2次形式''と呼ぼう。
>右辺を2つ書いたが、意味は同じ。
>$$\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&c\end{smallmatrix} \big)$$は実対称行列であることに注意。

#blockquote(){{{定義 2.19 (正値とは)
2次形式 f(x, y) が正値であるとは、
(x, y)≠0 ならば f(x, y)>0 となることと定める。}}}

(例)
f(x, y)=x&sup(){2}+y&sup(){2} は正値。
f(x, y)=xy は正値でない。


#blockquote(){{{定義 2.20 (固有値、固有ベクトルとは)
$$A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big) $$ に対して、ある実数 λ と&u(){零でない}実ベクトル$$ \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) \ne \big(\begin{smallmatrix}0\\0\end{smallmatrix} \big) $$が存在して、
$$ A \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} $$ が成立しているとき、
λ を A の(実の)固有値、$$ \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) $$を固有値 λ の固有ベクトルと呼ぶ。}}}
#blockquote(){{{命題 2.21 (固有値と特性方程式)
λ が $$A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big) $$ の固有値 ⇔ λ は $$\det(A-\lambda E)=0$$ の実根

この det(A-λE)=0 を''特性方程式''という　　(ただし E は2次の単位行列)}}}
$$\det(A-\lambda E) = \begin{vmatrix} a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{vmatrix}=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=\lambda^2-(a+d)\lambda+ad-bc$$
'''Proof.'''
「→」
$$ A \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) = \lambda \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) $$ より、
$$ (A-\lambda E) \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} $$
もし(A-λE)が正則なら(A-λE)&sup(){-1}を左からかけることにより$$ \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} $$となって仮定に反する。
よって(A-λE)は正則でない。すなわちdet(A-λE)=0
｢←」
det(A-λE)=0 のとき、det(A-λE)を計算した上の式を見れば分かる通り、
$$ \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}d-\lambda\\-c\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-b\\a-\lambda\end{pmatrix} $$ はどちらも
$$ (A-\lambda E) \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} $$ をみたす。
ただし、この(x y)が両方とも零ベクトルになるようなら(x y)=(1 1)などがこの式を満たす。
よって、$$ A \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) = \lambda \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) $$を満たし零ベクトルでない(x y)が存在する。 ∥

#blockquote(){{{命題 2.22
実対称行列$$A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&c\end{smallmatrix} \big) $$ の特性方程式の解は2つとも実数。}}}
'''Proof.'''
$$\det(A-\lambda E) = \begin{vmatrix} a-\lambda & b \\ b & c-\lambda \end{vmatrix}=(a-\lambda)(c-\lambda)-b^2=\lambda^2-(a+c)\lambda+ac-b^2 = 0$$

$$\therefore \lambda = \frac{(a+c)\pm\sqrt{(a+c)^2-4ac+4b^2}}{2}$$
ルートの中身は $$(a+c)^2-4ac+4b^2=(a-c)^2+4b^2\ge0$$
よってλは実数。 ∥

>一般の n に対しても、n 次の実対称行列の固有値はすべて実数。らしい。

$$ \vec u = \begin{pmatrix}u_x\\u_y\end{pmatrix}, \vec v = \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix} $$ に対して、
内積を $$(\vec u, \vec v) = u_xv_x+u_yv_y$$ と定める。

$$(\vec u, \vec v) = \begin{pmatrix}u_x&u_y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}$$ とも書ける。

#blockquote(){{{補題 2.23
実対称行列$$A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&c\end{smallmatrix} \big) $$ に対して、$$(A \vec u, \vec v)=(\vec u, A \vec v)$$ が成立する。}}}
'''Proof.'''
もちろん成分を計算すれば示せるが、もっと楽にやりたいと思う。
$$(\vec u, \vec v) = \begin{pmatrix}u_x&u_y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix} = {}^t\vec u \vec v$$
と行列の転置を使って書ける。
&sup(){t}A=A に注意すれば、
$${}^t(A\vec u)={}^t\vec u \ {}^t\!A={}^t\vec u A$$
よって、
$$\begin{align}(A \vec u, \vec v)&={}^t(A\vec u) \vec v\\&=({}^t\vec u A) \vec v\\&={}^t\vec u (A \vec v)\\&=(\vec u, A \vec v)\end{align}$$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∥
#blockquote(){{{命題 2.24
Aを2次実対称行列とする。このとき、
A の固有値 $$\lambda_1, \lambda_2$$ の固有ベクトル $$\vec u_1, \vec u_2$$ で、 $$\mathbb{R}^2$$ の正規直交基底となるものが存在する。
つまり、$$(\vec u_1, \vec u_1)=1, (\vec u_2, \vec u_2)=1, (\vec u_1, \vec u_2)=0$$をみたす。}}}
'''Proof.'''
省略。

#blockquote(){{{命題 2.25
次は同値。
(1) $$f(x, y) = ( x \  y ) \big(\begin{smallmatrix} a & b \\ b & c \end{smallmatrix}\big) \big(\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\big)$$ は正値。
(2) $$ \big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big) $$の固有値 λ&sub(){1}, λ&sub(){2} がともに正。
(3) a>0 かつ $$ \big|\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big| > 0 $$}}}
'''Proof.'''
省略。

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*次:[[§8 曲面の極値]]