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&bold(){(極大、極小)}
f(x) が x で&bold(){極大}とは、x を含む'''開'''区間 U が（小さくても良いから）存在して、
任意の y∈U に対して f(y)≦f(x) となることと定める。
f(x) が x で&bold(){極小}とは、（中略） f(y)≧f(x) となることと定める。
さらに、x≠y ならば f(x)<f(y) となるとき&bold(){狭義の極大}という。
狭義の極小についても同様。
#blockquote(){{{命題 2.3 (極値の必要条件)
f(x) は微分可能とする。
f(x) が c で極大(小)となれば f'(c)=0}}}
'''Proof.'''
まず、$$ f'(c)=\lim_{h\to+0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} $$
分母は負、分子は正なので、極限の f'(c) は0以下
また、$$ f'(c)=\lim_{h\to-0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} $$
分母は負、分子は負なので、極限の f'(c) は0以上
したがって f'(c) は0以上0以下、すなわち0。 ∥
----
これから3つの定理を示すが、これらは次のような関係を持っている。
>&bold(){定理 2.4 (ロルの定理)}
>↓ 応用
>&bold(){定理 2.5 (平均値の定理)}
>↓ 応用
>&bold(){定理 2.6 (コーシーの平均値の定理)}
逆に見れば、
>&bold(){定理 2.4 (ロルの定理)}
>↑ f(a)=f(b) の場合
>&bold(){定理 2.5 (平均値の定理)}
>↑ g(x)=x の場合
>&bold(){定理 2.6 (コーシーの平均値の定理)}
という関係でもある。
#blockquote(){{{定理 2.4 (ロルの定理)
f(x) が[a, b]で連続、(a, b)で微分可能とし、
f(a)=f(b) であるとする。
このとき、ある点 c∈(a, b) が存在して、f'(c)=0となる。}}}
'''Proof.'''
f(x) は連続なので、定理 1.24 (夏学期の大定理) より、[a, b]の点で最大値、最小値をとる。
f(x) が定数関数ならば f'(x)=0 はいたるところで成り立つ。
f(x) が定数関数でないときを考えよう。
最大値と最小値、どちらも(a, b)に存在しないと仮定すると、
最大値と最小値はどちらも x=a, b のどちらかに存在することになるが、
f(a)=f(b) より、最大値=最小値=f(a)。
つまり f(x) は定数関数となり矛盾する。
したがって、最大値と最小値の少なくとも一方は(a, b)に存在する。
それを c と書こう。
c は[a, b]の内点（端ではない）なので、最大なら極大、最小なら極小。
(命題 2.3 より、)どちらにしても f'(c)=0 が成り立つ。 ∥
#blockquote(){{{定理 2.5 (平均値の定理)
f(x) が[a, b]で連続、(a, b)で微分可能とすると、
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$
となる c∈(a, b) が存在する。}}}
'''Proof.'''
$$\phi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x$$とおく。
>つまり、φ(x) は2点(a, f(a)), (b, f(b))を通る直線と、f(x)の差である。
このとき、
$$\begin{align}\phi(a)&=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}a=\frac{bf(a)-af(a)-af(b)+af(a)}{b-a}=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a} \\ \phi(b)&=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}b=\frac{bf(b)-af(b)-bf(b)+bf(a)}{b-a}=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a}\end{align}$$
なので、φ(a)=φ(b)
よってロルの定理より、ある c∈(a, b) が存在して、φ'(c)=0
ところで φ'(x)を計算すると$$\phi'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$なので、
φ'(c)=0 より$$f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$$ ∥
#blockquote(){{{定理 2.6 (コーシーの平均値の定理)
f, g が[a, b]で連続、(a, b)で微分可能とする。
さらに、g(a)≠g(b) で、f'(x) と g'(x) は同時に零にならないものとする。
このとき、
$$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} $$
となる c∈(a, b) が存在する。}}}
'''Proof.'''
$$ \phi(x)=(g(b)-g(a))f(x)-(f(b)-f(a))g(x) $$ とおくと、
$$ \phi(b)-\phi(a)=(g(b)-g(a))(f(b)-f(a))-(f(b)-f(a))(g(b)-g(a))=0 $$
よって 定理 2.5 (平均値の定理) が使えて、
φ'(c)=0 なる c∈(a, b) が存在する。
左辺を計算すると、
$$ \underbrace{(g(b)-g(a))}_{\ne 0}f'(c) = (f(b)-f(a))g'(c) $$
g'(c)=0 だと f'(c)=0 となり題意に反する。
よって g'(c)≠0 で、$$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} $$ ∥
----
お待たせしました！
定理 2.6 (コーシーの平均値の定理) が得られたので次の定理が証明できます！
#blockquote(){{{定理 2.7 (テイラーの定理)
この定理に限り、[a, x], (a, x)は a>x のとき[x, a], (x, a)のこととする。
f(x) が[a, x]で連続、(a, x)で n 回微分可能とする。
$$ f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f' '(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1} \ + \ R_n $$
// f' 'にある空白は、太字にするコマンドに指定されている''を回避するためです。
$$ R_n=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-a)^n $$
をみたす ξ が(a, x)に存在する。
この$$R_n$$を剰余項、(またはラグランジュの剰余項)と呼ぶ。}}}
'''Proof.'''
φ(x)=R&sub(){n}, g(x)=(x-a)&sup(){n} とおくことで、
R&sub(){n} の係数の部分 φ(x)/g(x) について調べたい。
まず、φ(x), g(x) の導関数を計算しておく。
(横長ですいません。1本目の式の最後の項は(n-1)次です)
#math(128){{{\renewcommand{\arraystretch}{2.0}\begin{array}{llr}
\phi(x)&=f(x)&-f(a)-\frac{f'(a)}{1!}(x-a)-\frac{f' '(a)}{2!}(x-a)^2-\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3-\cdots-\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1} \\
\phi'(x)&=f'(x)&-f'(a)\quad\quad\quad-\frac{f' '(a)}{1!}(x-a)-\frac{f'''(a)}{2!}(x-a)^2-\cdots-\frac{f^{(n-2)}(a)}{(n-2)!}(x-a)^{n-2} \\
\phi' '(x)&=f' '(x)&-f' '(a)\quad\quad\quad-\frac{f'''(a)}{1!}(x-a)\ -\cdots-\frac{f^{(n-3)}(a)}{(n-3)!}(x-a)^{n-3} \\
& \vdots & \vdots \quad\quad\quad\quad\quad\quad \\
\end{array}
}}}
$$\begin{align} & \phi^{(n-1)}(x)=f^{(n-1)}(x) -f^{(n-1)}(a) \\ & \phi^{(n)}(x)=f^{(n)}(x) \end{align} $$
$$\begin{array}{rcl} g(x) &=& (x-a)^n \\ g'(x) &=& n (x-a)^{n-1} \\ g''(x) &=& n(n-1) (x-a)^{n-2} \\ &\vdots& \\ g^{(n-1)}(x) &=& n(n-1) \cdots 2(x-a) \\ g^{(n)}(x) &=& n! \end{array}$$
必要なものを計算してまとめると、
$$(*)\cdots\begin{cases} \phi(a)=\phi'(a)=\phi''(a)=\cdots=\phi^{(n-1)}(a)=0 \\ \phi^{(n)}(x)=f^{(n)}(x) \\ g(a)=g'(a)=g''(a)=\cdots=g^{(n-1)}(a)=0 \\ g^{(n)}(x)=n! \end{cases}$$
さて、ここから 定理 2.6 (コーシーの平均値の定理) を使う。
使えるかどうかのチェックは後からやります。
$$ \frac{\phi(x)}{g(x)} \overset{(*)}{=} \frac{\phi(x)-\phi(a)}{g(x)-g(a)} \overset{2.6}{=} \frac{\phi'(c_1)}{g'(c_1)} \overset{(*)}{=} \frac{\phi'(c_1)-\phi'(a)}{g'(c_1)-g'(a)} \overset{2.6}{=}\frac{\phi' '(c_2)}{g' '(c_2)} \overset{(*)}{=} \cdots $$
$$ \overset{2.6}{=} \frac{\phi^{(n-1)}(c_{n-1})}{g^{(n-1)}(c_{n-1})} \overset{(*)}{=} \frac{\phi^{(n-1)}(c_{n-1})-\phi^{(n-1)}(a)}{g^{(n-1)}(c_{n-1})-g^{(n-1)}(a)} \overset{2.6}{=} \frac{\phi^{(n)}(c_n)}{g^{(n)}(c_n)} \overset{(*)}{=} \frac{f^{(n)}(c_n)}{n!} $$
定理 2.6 (コーシーの平均値の定理) をどう使ったかをチェックします。
1回目、「φ, g は[x, a]で連続、(x, a)で微分可能」である必要がありますが、
φ は f-(n-1次式) だからＯＫ。g は明らかにＯＫ。
さらに「g(x)≠g(a) で、φ' と g' は同時に零にならない」ですが、
g(x)≠g(a)はどうみてもＯＫです。
(*)より φ'(a)=g'(a)=0 ...おっと！？
……大丈夫です。コーシーの平均値の定理では φ' や g' は(x, a)の範囲でしか考えません。
この範囲では g' は零にはなりません。
φ'(a) や g'(a) は範囲外です。やったね！
ゆえに 定理 2.6 は使えて、等号が成り立つ c&sub(){1}∈(x, a) が存在する。
2回目、区間は(c&sub(){1}, a)になりました。
g'(c&sub(){1})≠g'(a) (=0) であり、g'' は零とならない。ＯＫです。
ゆえに等号が成り立つ c&sub(){2}∈(c&sub(){1}, a) が存在する。
(n-1)回目までは同様にＯＫです。
n 回目、g&sup(){(n)} は零とならないＯＫです。
ゆえに等号が成り立つ c&sub(){n}∈(c&sub(){n-1}, a) が存在する。
ということで、
$$ \frac{\phi(x)}{g(x)} = \frac{f^{(n)}(c_n)}{n!} $$
となる c&sub(){n}∈(c&sub(){n-1}, a)が存在する。
c&sub(){1}∈(x, a)
c&sub(){2}∈(c&sub(){1}, a)
c&sub(){3}∈(c&sub(){2}, a)
...
c&sub(){n}∈(c&sub(){n-1}, a)
なので、c&sub(){n}∈(x, a)が成り立つ。
この c&sub(){n} こそが ξ である！
$$ \frac{R_n}{g(x)}=\frac{\phi(x)}{g(x)}=\frac{f^{(n)}(c_n)}{n!}=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}$$より、
$$ R_n = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-a)^n $$
∥
お疲れ様でした、それではテイラー展開に進みましょう。
----
......
#co(){{{{{{
f(x, y) は(全)微分可能とする。
t の一変数関数 φ(t) を、
$$\phi (t)=f(a+\alpha t,b+\beta t)$$
と定める。
// φ(t) = f(a+αt, b+βt) と定める。
>つまり、φ(t) は xy 平面上の点(a, b)から速度(α, β)で t 進んだところの f(x, y) の値。
>φ(t) は f(x, y) の断面となっている。
φ(t) を t で微分してみる。
$$\begin{align} \phi '(t) & =\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\{ \phi (t+h)-\phi (t) \} \\ & =\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\{ f(a+\alpha t+\alpha h, b+\beta t+\beta h)-f(a+\alpha t, b+\beta t) \} \end{align} $$
ここで、(a+αt+αh, b+βt+βh) は (a+αt, b+βt) から (αh, βh) だけずれた点だと考えると、
f は微分可能なので、
$$\begin{align} f(a+\alpha t+\alpha h, b+\beta t+\beta h) &= f(a+\alpha t, b+\beta t) \\ & + \frac{\partial f(a+\alpha t, b+\beta t)}{\partial x}\cdot \alpha h + \frac{\partial f(a+\alpha t, b+\beta t)}{\partial y}\cdot \beta h + \epsilon (\alpha h, \beta h)\end{align}$$
よって
$$\begin{align} \phi '(t) & = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left\{ \frac{\partial f(a+\alpha t, b+\beta t)}{\partial x}\cdot \alpha h + \frac{\partial f(a+\alpha t, b+\beta t)}{\partial y}\cdot \beta h + \epsilon (\alpha h, \beta h) \right\} \\ & = \frac{\partial f(a+\alpha t, b+\beta t)}{\partial x}\cdot \alpha + \frac{\partial f(a+\alpha t, b+\beta t)}{\partial y}\cdot \beta + \lim_{h \to 0} \frac{ \epsilon (\alpha h, \beta h) }{h} \end{align} $$
ここで、第3項は0である。
>なぜならば、
$$\lim_{h \to 0} \frac{ \epsilon (\alpha h, \beta h) }{h}=\lim_{h \to 0} \underbrace{ \frac{ \epsilon (\alpha h, \beta h) }{\sqrt{\alpha^2h^2+\beta^2h^2}} }_{\to 0} \cdot \underbrace{ \frac{\sqrt{\alpha^2h^2+\beta^2h^2}}{h} }_{=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}$$
「→0」は、εの定義による。
まとめると、
#blockquote(){{{(方向微分)
$$\phi'(t)=\left(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y}\right)f(a+\alpha t, b+\beta t)$$ }}}
これは、関数 f の 点(x, y) の場所を ベクトル(α, β) の方向になぞったときの傾きである。
φ(t) をもっと微分してみる。
#blockquote(){{{命題 2.17 (高階の方向微分の二項展開)
f(x, y) は十分滑らか、すなわち高階の偏導関数$$(\tfrac{\partial}{\partial x})^k(\tfrac{\partial}{\partial y})^{m-k}f(x, y)$$が存在して連続であるとする。(m≫1, k=0, 1, ... ,m)
(つまり、偏導関数 ∂/∂x と ∂/∂y の順序が交換できる。)
このとき、$$ \left(\frac{d}{dt}\right)^m\phi(t) = \phi^{(m)}(t) = \left(\alpha\frac{\partial}{\partial x}+\beta\frac{\partial}{\partial y}\right)^m f(a+\alpha t, b+\beta t)$$が成り立つ。
ここで、$$(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^mf(x, y)$$は
$$\sum^m_{k=0}\alpha^k\beta^{m-k}\binom{m}{k}\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^k\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^{m-k}\!\!f(x, y) $$の略記である。
$$\tbinom{m}{k}$$は二項係数&sub(){m}C&sub(){k}のことである。}}}
'''Proof.'''
>f(x, y) が十分滑らかなとき $$\tfrac{\partial f}{\partial x}(x, y)$$ もまた十分滑らかな2変数関数であると分かっていれば難なく示せる。
m=k のとき成り立つと仮定する。
$$g(x, y)=(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})f(x, y)$$ とおくと、
gは十分滑らかで、$$\tfrac{d}{dt}\phi(t)=g(a+\alpha t, b+\beta t)$$ が成り立つ。
さらに、$$\psi(t)=g(a+\alpha t, b+\beta t)$$ とおくと、
仮定より、$$\tfrac{d^{k}}{dt^{k}}\psi(t)=(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^k g(a+\alpha t, b+\beta t)$$
したがって、
$$\tfrac{d^{k+1}}{dt^{k+1}}(t) = \tfrac{d^{k}}{dt^{k}}(\tfrac{d}{dt}\phi(t)) = \tfrac{d^{k}}{dt^{k}}g(a+\alpha t, b+\beta t) = \tfrac{d^{k}}{dt^{k}}\psi(t)$$
仮定より、
$$\begin{align}&=(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^k g(a+\alpha t, b+\beta t) \\ &=(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^k (\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y}) f(a+\alpha t, b+\beta t) \\ &= (\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^{k+1} f(a+\alpha t, b+\beta t)\end{align}$$
となり、 m=k+1 でも成り立つ。
帰納法で示された。 ∥
φ(t)を0を中心に展開するテイラーの定理は以下のようである。
ある実数 0<θ<1 が存在して、
$$\phi(t)=\phi(0)+\phi'(0)t+\frac{\phi''(0)}{2!}t^2+\cdots+\frac{\phi^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}t^{n-1}+\frac{\phi^{n}(\theta t)}{n!}t^n$$
ここで、t=1とし、命題 2.17 を適用すると次の定理が得られる。
#blockquote(){{{命題 2.18 (2変数のテーラーの公式)
$$ f(a+\alpha, b+\beta)=f(a, b)+(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})f(a, b)+\frac{1}{2!}(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^2f(a, b)+\cdots+\frac{1}{(n-1)!}(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^{n-1}f(a, b)\ \ +\frac{1}{n!}(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^nf(a+\theta\alpha, b+\theta\beta) $$
を満たす実数 0<θ<1 が存在する。}}}
----
極大、極小、峠ではどれも f&sub(){x}=f&sub(){y}=0 となる。
ではどのように区別できるだろうか。
点(a, b) で f&sub(){x}=f&sub(){y}=0 となるとき、点(a, b) を中心とした f(x, y) のテイラー展開を考えると、
$$ f(a+\alpha, b+\beta)=f(a, b)+(0+0)+\frac{1}{2}(\alpha^2 f_{xx}+2\alpha\beta f_{xy}+\beta^2 f_{yy})(a, b)+\cdots $$ （α, βの高次項)
$$ \approx f(a, b)+\frac{1}{2}\{\alpha^2 f_{xx}(a, b)+2\alpha\beta f_{xy}(a, b)+\beta^2 f_{yy}(a, b)\}$$
つまり、αやβの係数である f&sub(){xx}(a, b), f&sub(){xy}(a, b), f&sub(){yy}(a, b) が 点(a, b) 付近での f の局所的な構造を決定しているのである。
>f&sub(){xx}(a, b), f&sub(){xy}(a, b), f&sub(){yy}(a, b) の値を見ただけで極大、極小、峠を区別できたらうれしい……そこで、次は2次形式を学びます。
----
*次:§7 2次形式
}}}}}}
&bold(){(極大、極小)}
f(x) が x で&bold(){極大}とは、x を含む'''開'''区間 U が（小さくても良いから）存在して、
任意の y∈U に対して f(y)≦f(x) となることと定める。
f(x) が x で&bold(){極小}とは、（中略） f(y)≧f(x) となることと定める。
さらに、x≠y ならば f(x)<f(y) となるとき&bold(){狭義の極大}という。
狭義の極小についても同様。
#blockquote(){{{命題 2.3 (極値の必要条件)
f(x) は微分可能とする。
f(x) が c で極大(小)となれば f'(c)=0}}}
'''Proof.'''
まず、$$ f'(c)=\lim_{h\to+0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} $$
分母は負、分子は正なので、極限の f'(c) は0以下
また、$$ f'(c)=\lim_{h\to-0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} $$
分母は負、分子は負なので、極限の f'(c) は0以上
したがって f'(c) は0以上0以下、すなわち0。 ∥
----
これから3つの定理を示すが、これらは次のような関係を持っている。
>&bold(){定理 2.4 (ロルの定理)}
>↓ 応用
>&bold(){定理 2.5 (平均値の定理)}
>↓ 応用
>&bold(){定理 2.6 (コーシーの平均値の定理)}
逆に見れば、
>&bold(){定理 2.4 (ロルの定理)}
>↑ f(a)=f(b) の場合
>&bold(){定理 2.5 (平均値の定理)}
>↑ g(x)=x の場合
>&bold(){定理 2.6 (コーシーの平均値の定理)}
という関係でもある。
#blockquote(){{{定理 2.4 (ロルの定理)
f(x) が[a, b]で連続、(a, b)で微分可能とし、
f(a)=f(b) であるとする。
このとき、ある点 c∈(a, b) が存在して、f'(c)=0となる。}}}
'''Proof.'''
f(x) は連続なので、定理 1.24 (夏学期の大定理) より、[a, b]の点で最大値、最小値をとる。
f(x) が定数関数ならば f'(x)=0 はいたるところで成り立つ。
f(x) が定数関数でないときを考えよう。
最大値と最小値、どちらも(a, b)に存在しないと仮定すると、
最大値と最小値はどちらも x=a, b のどちらかに存在することになるが、
f(a)=f(b) より、最大値=最小値=f(a)。
つまり f(x) は定数関数となり矛盾する。
したがって、最大値と最小値の少なくとも一方は(a, b)に存在する。
それを c と書こう。
c は[a, b]の内点（端ではない）なので、最大なら極大、最小なら極小。
(命題 2.3 より、)どちらにしても f'(c)=0 が成り立つ。 ∥
#blockquote(){{{定理 2.5 (平均値の定理)
f(x) が[a, b]で連続、(a, b)で微分可能とすると、
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$
となる c∈(a, b) が存在する。}}}
'''Proof.'''
$$\phi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x$$とおく。
>つまり、φ(x) は2点(a, f(a)), (b, f(b))を通る直線と、f(x)の差である。
このとき、
$$\begin{align}\phi(a)&=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}a=\frac{bf(a)-af(a)-af(b)+af(a)}{b-a}=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a} \\ \phi(b)&=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}b=\frac{bf(b)-af(b)-bf(b)+bf(a)}{b-a}=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a}\end{align}$$
なので、φ(a)=φ(b)
よってロルの定理より、ある c∈(a, b) が存在して、φ'(c)=0
ところで φ'(x)を計算すると$$\phi'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$なので、
φ'(c)=0 より$$f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$$ ∥
#blockquote(){{{定理 2.6 (コーシーの平均値の定理)
f, g が[a, b]で連続、(a, b)で微分可能とする。
さらに、g(a)≠g(b) で、f'(x) と g'(x) は同時に零にならないものとする。
このとき、
$$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} $$
となる c∈(a, b) が存在する。}}}
'''Proof.'''
$$ \phi(x)=(g(b)-g(a))f(x)-(f(b)-f(a))g(x) $$ とおくと、
$$ \phi(b)-\phi(a)=(g(b)-g(a))(f(b)-f(a))-(f(b)-f(a))(g(b)-g(a))=0 $$
よって 定理 2.5 (平均値の定理) が使えて、
φ'(c)=0 なる c∈(a, b) が存在する。
左辺を計算すると、
$$ \underbrace{(g(b)-g(a))}_{\ne 0}f'(c) = (f(b)-f(a))g'(c) $$
g'(c)=0 だと f'(c)=0 となり題意に反する。
よって g'(c)≠0 で、$$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} $$ ∥
----
お待たせしました！
定理 2.6 (コーシーの平均値の定理) が得られたので次の定理が証明できます！
#blockquote(){{{定理 2.7 (テイラーの定理)
この定理に限り、[a, x], (a, x)は a>x のとき[x, a], (x, a)のこととする。
f(x) が[a, x]で連続、(a, x)で n 回微分可能とする。
$$ f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f' '(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1} \ + \ R_n $$
// f' 'にある空白は、太字にするコマンドに指定されている''を回避するためです。
$$ R_n=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-a)^n $$
をみたす ξ が(a, x)に存在する。
この$$R_n$$を剰余項、(またはラグランジュの剰余項)と呼ぶ。}}}
'''Proof.'''
φ(x)=R&sub(){n}, g(x)=(x-a)&sup(){n} とおくことで、
R&sub(){n} の係数の部分 φ(x)/g(x) について調べたい。
まず、φ(x), g(x) の導関数を計算しておく。
(横長ですいません。1本目の式の最後の項は(n-1)次です)
#math(128){{{\renewcommand{\arraystretch}{2.0}\begin{array}{llr}
\phi(x)&=f(x)&-f(a)-\frac{f'(a)}{1!}(x-a)-\frac{f' '(a)}{2!}(x-a)^2-\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3-\cdots-\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1} \\
\phi'(x)&=f'(x)&-f'(a)\quad\quad\quad-\frac{f' '(a)}{1!}(x-a)-\frac{f'''(a)}{2!}(x-a)^2-\cdots-\frac{f^{(n-2)}(a)}{(n-2)!}(x-a)^{n-2} \\
\phi' '(x)&=f' '(x)&-f' '(a)\quad\quad\quad-\frac{f'''(a)}{1!}(x-a)\ -\cdots-\frac{f^{(n-3)}(a)}{(n-3)!}(x-a)^{n-3} \\
& \vdots & \vdots \quad\quad\quad\quad\quad\quad \\
\end{array}
}}}
$$\begin{align} & \phi^{(n-1)}(x)=f^{(n-1)}(x) -f^{(n-1)}(a) \\ & \phi^{(n)}(x)=f^{(n)}(x) \end{align} $$
$$\begin{array}{rcl} g(x) &=& (x-a)^n \\ g'(x) &=& n (x-a)^{n-1} \\ g''(x) &=& n(n-1) (x-a)^{n-2} \\ &\vdots& \\ g^{(n-1)}(x) &=& n(n-1) \cdots 2(x-a) \\ g^{(n)}(x) &=& n! \end{array}$$
必要なものを計算してまとめると、
$$(*)\cdots\begin{cases} \phi(a)=\phi'(a)=\phi''(a)=\cdots=\phi^{(n-1)}(a)=0 \\ \phi^{(n)}(x)=f^{(n)}(x) \\ g(a)=g'(a)=g''(a)=\cdots=g^{(n-1)}(a)=0 \\ g^{(n)}(x)=n! \end{cases}$$
さて、ここから 定理 2.6 (コーシーの平均値の定理) を使う。
使えるかどうかのチェックは後からやります。
$$ \frac{\phi(x)}{g(x)} \overset{(*)}{=} \frac{\phi(x)-\phi(a)}{g(x)-g(a)} \overset{2.6}{=} \frac{\phi'(c_1)}{g'(c_1)} \overset{(*)}{=} \frac{\phi'(c_1)-\phi'(a)}{g'(c_1)-g'(a)} \overset{2.6}{=}\frac{\phi' '(c_2)}{g' '(c_2)} \overset{(*)}{=} \cdots $$
$$ \overset{2.6}{=} \frac{\phi^{(n-1)}(c_{n-1})}{g^{(n-1)}(c_{n-1})} \overset{(*)}{=} \frac{\phi^{(n-1)}(c_{n-1})-\phi^{(n-1)}(a)}{g^{(n-1)}(c_{n-1})-g^{(n-1)}(a)} \overset{2.6}{=} \frac{\phi^{(n)}(c_n)}{g^{(n)}(c_n)} \overset{(*)}{=} \frac{f^{(n)}(c_n)}{n!} $$
定理 2.6 (コーシーの平均値の定理) をどう使ったかをチェックします。
1回目、「φ, g は[x, a]で連続、(x, a)で微分可能」である必要がありますが、
φ は f-(n-1次式) だからＯＫ。g は明らかにＯＫ。
さらに「g(x)≠g(a) で、φ' と g' は同時に零にならない」ですが、
g(x)≠g(a)はどうみてもＯＫです。
(*)より φ'(a)=g'(a)=0 ...おっと！？
……大丈夫です。コーシーの平均値の定理では φ' や g' は(x, a)の範囲でしか考えません。
この範囲では g' は零にはなりません。
φ'(a) や g'(a) は範囲外です。やったね！
ゆえに 定理 2.6 は使えて、等号が成り立つ c&sub(){1}∈(x, a) が存在する。
2回目、区間は(c&sub(){1}, a)になりました。
g'(c&sub(){1})≠g'(a) (=0) であり、g'' は零とならない。ＯＫです。
ゆえに等号が成り立つ c&sub(){2}∈(c&sub(){1}, a) が存在する。
(n-1)回目までは同様にＯＫです。
n 回目、g&sup(){(n)} は零とならないＯＫです。
ゆえに等号が成り立つ c&sub(){n}∈(c&sub(){n-1}, a) が存在する。
ということで、
$$ \frac{\phi(x)}{g(x)} = \frac{f^{(n)}(c_n)}{n!} $$
となる c&sub(){n}∈(c&sub(){n-1}, a)が存在する。
c&sub(){1}∈(x, a)
c&sub(){2}∈(c&sub(){1}, a)
c&sub(){3}∈(c&sub(){2}, a)
...
c&sub(){n}∈(c&sub(){n-1}, a)
なので、c&sub(){n}∈(x, a)が成り立つ。
この c&sub(){n} こそが ξ である！
$$ \frac{R_n}{g(x)}=\frac{\phi(x)}{g(x)}=\frac{f^{(n)}(c_n)}{n!}=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}$$より、
$$ R_n = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-a)^n $$
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お疲れ様でした、それではテイラー展開に進みましょう。
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ここからは[[テーラー展開の例]]に進んでください。
