「2章 微分法/定理・定義・命題の一覧」の編集履歴（バックアップ）一覧はこちら
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*§1 導関数
#blockquote(){{{定義 2.1 (微分可能、微分係数とは)}}}
#blockquote(){{{命題 2.2}}}
*[[§2 平均値の定理]]
#blockquote(){{{命題 2.3 (極値の必要条件)
f(x) は微分可能とする。
f(x) が c で極大(小)となれば f'(c)=0}}}
>&bold(){定理 2.4 (ロルの定理)}
> 応用↓ ↑ f(a)=f(b) の場合
>&bold(){定理 2.5 (平均値の定理)}
> 応用↓ ↑ g(x)=x の場合
>&bold(){定理 2.6 (コーシーの平均値の定理)}
#blockquote(){{{定理 2.4 (ロルの定理)
f(x) が[a, b]で連続、(a, b)で微分可能とし、
f(a)=f(b) であるとする。
このとき、ある点 c∈(a, b) が存在して、f'(c)=0となる。}}}
#blockquote(){{{定理 2.5 (平均値の定理)
f(x) が[a, b]で連続、(a, b)で微分可能とすると、
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$
となる c∈(a, b) が存在する。}}}
#blockquote(){{{定理 2.6 (コーシーの平均値の定理)
f, g が[a, b]で連続、(a, b)で微分可能とする。
さらに、g(a)≠g(b) で、f'(x) と g'(x) は同時に零にならないものとする。
このとき、
$$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} $$
となる c∈(a, b) が存在する。}}}
#blockquote(){{{定理 2.7 (テイラーの定理)
この定理に限り、[a, x], (a, x)は a>x のとき[x, a], (x, a)のこととする。
f(x) が[a, x]で連続、(a, x)で n 回微分可能とする。
$$ f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f' '(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1} \ + \ R_n $$
// f' 'にある空白は、太字にするコマンドに指定されている''を回避するためです。
$$ R_n=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-a)^n $$
をみたす ξ が(a, x)に存在する。
この$$R_n$$を剰余項、(またはラグランジュの剰余項)と呼ぶ。}}}
*§3 平均値の定理の応用:単調増加性と凸性
#blockquote(){{{定理 2.8 (アーベルの定理)}}}
#blockquote(){{{定理 2.9}}}
#blockquote(){{{定義 2.10 (単調増加とは)}}}
#blockquote(){{{定理 2.11}}}
#blockquote(){{{定義 2.12 (下に凸とは)}}}
#blockquote(){{{定理 2.13}}}
*§4 偏微分
#blockquote(){{{(偏微分可能、偏導関数とは)}}}
#blockquote(){{{(全微分可能とは)}}}
#blockquote(){{{命題 2.14 (偏導関数の順序交換)}}}
*§5 2変数関数の微分
#blockquote(){{{定義 2.15 ((全)微分可能とは)}}}
#blockquote(){{{定理 2.16}}}
#blockquote(){{{問}}}
*[[§6 2変数のテーラーの公式]]
#blockquote(){{{(方向微分)
$$\phi'(t)=\left(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y}\right)f(a+\alpha t, b+\beta t)$$ }}}
#blockquote(){{{命題 2.17 (高階の方向微分の二項展開)
f(x, y) は十分滑らか、すなわち高階の偏導関数$$(\tfrac{\partial}{\partial x})^k(\tfrac{\partial}{\partial y})^{m-k}f(x, y)$$が存在して連続であるとする。(m≫1, k=0, 1, ... ,m)
(つまり、偏導関数 ∂/∂x と ∂/∂y の順序が交換できる。)
このとき、$$ \left(\frac{d}{dt}\right)^m\phi(t) = \phi^{(m)}(t) = \left(\alpha\frac{\partial}{\partial x}+\beta\frac{\partial}{\partial y}\right)^m f(a+\alpha t, b+\beta t)$$が成り立つ。
ここで、$$(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^mf(x, y)$$は
$$\sum^m_{k=0}\alpha^k\beta^{m-k}\binom{m}{k}\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^k\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^{m-k}\!\!f(x, y) $$の略記である。
$$\tbinom{m}{k}$$は二項係数&sub(){m}C&sub(){k}のことである。}}}
#blockquote(){{{命題 2.18 (2変数のテーラーの公式)
$$\begin{align} f(a+\alpha, b & +\beta)=f(a, b)+(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})f(a, b)+\frac{1}{2!}(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^2f(a, b)+\cdots \\ & +\frac{1}{(n-1)!}(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^{n-1}f(a, b)\ \ +\frac{1}{n!}(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^nf(a+\theta\alpha, b+\theta\beta) \end{align}$$
を満たす実数 0<θ<1 が存在する。}}}
*[[§7 2次形式]]
(2次形式)
実数 a, b, c に対して、
$$\begin{align} f(x, y) &= ax^2+2bxy+cy^2 \\ &= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align}$$
を''2次形式''と呼ぼう。
#blockquote(){{{定義 2.19 (正値とは)
2次形式 f(x, y) が正値であるとは、
(x, y)≠0 ならば f(x, y)>0 となることと定める。}}}
#blockquote(){{{定義 2.20 (固有値、固有ベクトルとは)
$$A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big) $$ に対して、ある実数 λ と&u(){零でない}実ベクトル$$ \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) \ne \big(\begin{smallmatrix}0\\0\end{smallmatrix} \big) $$が存在して、
$$ A \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} $$ が成立しているとき、
λ を A の(実の)固有値、$$ \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) $$を固有値 λ の固有ベクトルと呼ぶ。}}}
#blockquote(){{{命題 2.21 (固有値と特性方程式)
λ が $$A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big) $$ の固有値 ⇔ λ は $$\det(A-\lambda E)=0$$ の実根
この det(A-λE)=0 を''特性方程式''という (ただし E は2次の単位行列)}}}
#blockquote(){{{命題 2.22
実対称行列$$A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&c\end{smallmatrix} \big) $$ の特性方程式の解は2つとも実数。}}}
(内積)
$$ \vec u = \begin{pmatrix}u_x\\u_y\end{pmatrix}, \vec v = \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix} $$ に対して、
内積を $$(\vec u, \vec v) = u_xv_x+u_yv_y$$ と定める。
$$(\vec u, \vec v) = \begin{pmatrix}u_x&u_y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}$$ とも書ける。
#blockquote(){{{補題 2.23
実対称行列$$A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&c\end{smallmatrix} \big) $$ に対して、$$(A \vec u, \vec v)=(\vec u, A \vec v)$$ が成立する。}}}
#blockquote(){{{命題 2.24
Aを2次実対称行列とする。このとき、
A の固有値 $$\lambda_1, \lambda_2$$ の固有ベクトル $$\vec u_1, \vec u_2$$ で、 $$\mathbb{R}^2$$ の正規直交基底となるものが存在する。
つまり、$$(\vec u_1, \vec u_1)=1, (\vec u_2, \vec u_2)=1, (\vec u_1, \vec u_2)=0$$をみたす。}}}
#blockquote(){{{命題 2.25
次は同値。
(1) $$f(x, y) = ( x \ y ) \big(\begin{smallmatrix} a & b \\ b & c \end{smallmatrix}\big) \big(\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\big)$$ は正値。
(2) $$ \big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big) $$の固有値 λ&sub(){1}, λ&sub(){2} がともに正。
(3) a>0 かつ $$ \big|\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big| > 0 $$}}}
*§8 曲面の極値
#blockquote(){{{(接平面に関する必要条件)}}}
#blockquote(){{{(ヘッセ行列)}}}
#blockquote(){{{命題 2.26 (ヘッセ行列式による極値判定)}}}
*1学期最終講義
#blockquote(){{{(合成関数の微分)
f(x), g(x) が微分可能なとき、$$\frac{d}{dx}f(g(x))=g'(x)f'(g(x))$$}}}
#blockquote(){{{(対数微分)
$$f'(x)=f(x) \cdot \frac{d}{dx}\log f(x)$$}}}
たとえば、$$ \frac{d}{dx} x^x = x^x (\log x + 1) $$
#blockquote(){{{( i の i 乗)
$$ i^i = e^{\left-\frac{\pi}{2}-2n\pi\right} \quad (n\in\mathbb{R}) $$}}}
#blockquote(){{{$$(-1)^i=(i^i)^2$$}}}
#blockquote(){{{黄金比$$ \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $$の連分数分解は、
$$\phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ddots}} }} $$}}}
#blockquote(){{{$$ \tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \cdots$$}}}
以上。
*§1 導関数
#blockquote(){{{定義 2.1 (微分可能、微分係数とは)}}}
#blockquote(){{{命題 2.2}}}
*[[§2 平均値の定理]]
#blockquote(){{{命題 2.3 (極値の必要条件)
f(x) は微分可能とする。
f(x) が c で極大(小)となれば f'(c)=0}}}
>&bold(){定理 2.4 (ロルの定理)}
> 応用↓ ↑ f(a)=f(b) の場合
>&bold(){定理 2.5 (平均値の定理)}
> 応用↓ ↑ g(x)=x の場合
>&bold(){定理 2.6 (コーシーの平均値の定理)}
#blockquote(){{{定理 2.4 (ロルの定理)
f(x) が[a, b]で連続、(a, b)で微分可能とし、
f(a)=f(b) であるとする。
このとき、ある点 c∈(a, b) が存在して、f'(c)=0となる。}}}
#blockquote(){{{定理 2.5 (平均値の定理)
f(x) が[a, b]で連続、(a, b)で微分可能とすると、
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$
となる c∈(a, b) が存在する。}}}
#blockquote(){{{定理 2.6 (コーシーの平均値の定理)
f, g が[a, b]で連続、(a, b)で微分可能とする。
さらに、g(a)≠g(b) で、f'(x) と g'(x) は同時に零にならないものとする。
このとき、
$$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} $$
となる c∈(a, b) が存在する。}}}
#blockquote(){{{定理 2.7 (テイラーの定理)
この定理に限り、[a, x], (a, x)は a>x のとき[x, a], (x, a)のこととする。
f(x) が[a, x]で連続、(a, x)で n 回微分可能とする。
$$ f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f' '(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots+\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1} \ + \ R_n $$
// f' 'にある空白は、太字にするコマンドに指定されている''を回避するためです。
$$ R_n=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-a)^n $$
をみたす ξ が(a, x)に存在する。
この$$R_n$$を剰余項、(またはラグランジュの剰余項)と呼ぶ。}}}
*§3 平均値の定理の応用:単調増加性と凸性
#blockquote(){{{定理 2.8 (アーベルの定理)}}}
#blockquote(){{{定理 2.9}}}
#blockquote(){{{定義 2.10 (単調増加とは)}}}
#blockquote(){{{定理 2.11}}}
#blockquote(){{{定義 2.12 (下に凸とは)}}}
#blockquote(){{{定理 2.13}}}
*§4 偏微分
#blockquote(){{{(偏微分可能、偏導関数とは)}}}
#blockquote(){{{(全微分可能とは)}}}
#blockquote(){{{命題 2.14 (偏導関数の順序交換)}}}
*§5 2変数関数の微分
#blockquote(){{{定義 2.15 ((全)微分可能とは)}}}
#blockquote(){{{定理 2.16}}}
#blockquote(){{{問}}}
*[[§6 2変数のテーラーの公式]]
#blockquote(){{{(方向微分)
$$\phi'(t)=\left(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y}\right)f(a+\alpha t, b+\beta t)$$ }}}
#blockquote(){{{命題 2.17 (高階の方向微分の二項展開)
f(x, y) は十分滑らか、すなわち高階の偏導関数$$(\tfrac{\partial}{\partial x})^k(\tfrac{\partial}{\partial y})^{m-k}f(x, y)$$が存在して連続であるとする。(m≫1, k=0, 1, ... ,m)
(つまり、偏導関数 ∂/∂x と ∂/∂y の順序が交換できる。)
このとき、$$ \left(\frac{d}{dt}\right)^m\phi(t) = \phi^{(m)}(t) = \left(\alpha\frac{\partial}{\partial x}+\beta\frac{\partial}{\partial y}\right)^m f(a+\alpha t, b+\beta t)$$が成り立つ。
ここで、$$(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^mf(x, y)$$は
$$\sum^m_{k=0}\alpha^k\beta^{m-k}\binom{m}{k}\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^k\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^{m-k}\!\!f(x, y) $$の略記である。
$$\tbinom{m}{k}$$は二項係数&sub(){m}C&sub(){k}のことである。}}}
#blockquote(){{{命題 2.18 (2変数のテーラーの公式)
$$\begin{align} f(a+\alpha, b & +\beta)=f(a, b)+(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})f(a, b)+\frac{1}{2!}(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^2f(a, b)+\cdots \\ & +\frac{1}{(n-1)!}(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^{n-1}f(a, b)\ \ +\frac{1}{n!}(\alpha\tfrac{\partial}{\partial x}+\beta\tfrac{\partial}{\partial y})^nf(a+\theta\alpha, b+\theta\beta) \end{align}$$
を満たす実数 0<θ<1 が存在する。}}}
*[[§7 2次形式]]
(2次形式)
実数 a, b, c に対して、
$$\begin{align} f(x, y) &= ax^2+2bxy+cy^2 \\ &= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align}$$
を''2次形式''と呼ぼう。
#blockquote(){{{定義 2.19 (正値とは)
2次形式 f(x, y) が正値であるとは、
(x, y)≠0 ならば f(x, y)>0 となることと定める。}}}
#blockquote(){{{定義 2.20 (固有値、固有ベクトルとは)
$$A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big) $$ に対して、ある実数 λ と&u(){零でない}実ベクトル$$ \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) \ne \big(\begin{smallmatrix}0\\0\end{smallmatrix} \big) $$が存在して、
$$ A \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} $$ が成立しているとき、
λ を A の(実の)固有値、$$ \big(\begin{smallmatrix}x\\y\end{smallmatrix} \big) $$を固有値 λ の固有ベクトルと呼ぶ。}}}
#blockquote(){{{命題 2.21 (固有値と特性方程式)
λ が $$A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big) $$ の固有値 ⇔ λ は $$\det(A-\lambda E)=0$$ の実根
この det(A-λE)=0 を''特性方程式''という (ただし E は2次の単位行列)}}}
#blockquote(){{{命題 2.22
実対称行列$$A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&c\end{smallmatrix} \big) $$ の特性方程式の解は2つとも実数。}}}
(内積)
$$ \vec u = \begin{pmatrix}u_x\\u_y\end{pmatrix}, \vec v = \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix} $$ に対して、
内積を $$(\vec u, \vec v) = u_xv_x+u_yv_y$$ と定める。
$$(\vec u, \vec v) = \begin{pmatrix}u_x&u_y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}$$ とも書ける。
#blockquote(){{{補題 2.23
実対称行列$$A=\big(\begin{smallmatrix}a&b\\b&c\end{smallmatrix} \big) $$ に対して、$$(A \vec u, \vec v)=(\vec u, A \vec v)$$ が成立する。}}}
#blockquote(){{{命題 2.24
Aを2次実対称行列とする。このとき、
A の固有値 $$\lambda_1, \lambda_2$$ の固有ベクトル $$\vec u_1, \vec u_2$$ で、 $$\mathbb{R}^2$$ の正規直交基底となるものが存在する。
つまり、$$(\vec u_1, \vec u_1)=1, (\vec u_2, \vec u_2)=1, (\vec u_1, \vec u_2)=0$$をみたす。}}}
#blockquote(){{{命題 2.25
次は同値。
(1) $$f(x, y) = ( x \ y ) \big(\begin{smallmatrix} a & b \\ b & c \end{smallmatrix}\big) \big(\begin{smallmatrix} x \\ y \end{smallmatrix}\big)$$ は正値。
(2) $$ \big(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big) $$の固有値 λ&sub(){1}, λ&sub(){2} がともに正。
(3) a>0 かつ $$ \big|\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix} \big| > 0 $$}}}
*[[§8 曲面の極値]]
#blockquote(){{{(接平面に関する必要条件)
十分滑らかな曲面 z=f(x, y) を考える。
点(x, y)=(a, b)で極値をとるためには
$$ \begin{cases} f_x(a, b)=0 \\ f_y(a, b)=0 \end{cases} \cdots (*) $$
となることが必要。}}}
#blockquote(){{{''ヘッセ行列''と呼ばれる実対称行列 $$ H(x, y) = \begin{pmatrix} f_{xx}(x, y) & f_{xy}(x, y) \\ f_{xy}(x, y) & f_{yy}(x, y) \end{pmatrix} $$ を用いると、
$$ f(a+\alpha, b+\beta)-f(a, b) \cong \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \alpha & \beta \end{pmatrix} H(a, b) \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$$}}}
#blockquote(){{{命題 2.26 (ヘッセ行列式による極値判定)
z=f(x, y) を十分滑らかな曲面とする。
さらに、点(x, y)=(a, b)で f&sub(){x}(a, b)=f&sub(){y}(a, b)=0 となっているとする。
このとき、
(1) $$ |H(a, b)|>0 $$ なら極値で、
f&sub(){xx}(a, b)>0 なら極大点。
f&sub(){xx}(a, b)<0 なら極小点。
(2) $$ |H(a, b)|<0 $$ なら峠点。
$$ |H(a, b)|=0 $$ の場合は判定できないので、他の方法を考える必要がある。}}}
*[[1学期最終講義]]
#blockquote(){{{(合成関数の微分)
f(x), g(x) が微分可能なとき、$$\frac{d}{dx}f(g(x))=g'(x)f'(g(x))$$}}}
#blockquote(){{{(対数微分)
$$f'(x)=f(x) \cdot \frac{d}{dx}\log f(x)$$}}}
たとえば、$$ \frac{d}{dx} x^x = x^x (\log x + 1) $$
#blockquote(){{{( i の i 乗)
$$ i^i = e^{\left-\frac{\pi}{2}-2n\pi\right} \quad (n\in\mathbb{R}) $$}}}
#blockquote(){{{$$(-1)^i=(i^i)^2$$}}}
#blockquote(){{{黄金比$$ \phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $$の連分数分解は、
$$\phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ddots}} }} $$}}}
#blockquote(){{{$$ \tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \cdots$$}}}
以上。
