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*''指数関数''とその派生
#blockquote{{{{{#math(150){{{
\begin{align}
e^x & = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \\
\cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots && \left ( = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} \right ) \\
\sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots && \left ( = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right )
\end{align}
}}} }}}}}
>$$ \tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \cdots$$
*''二項定理''とその派生
二項定理は|x|<1のときしか使えないため、そこから導かれるものも定義域が|x|<1に制限される。
ただし定理 2.8 (アーベルの定理) を用いて、定義域をその端点まで拡張できるものもある。
2本目は''幾何級数''とよばれる。
#blockquote{{{{{#math(150){{{
\begin{align}
(1+x)^\alpha & = 1 + \tfrac{\alpha}{1!}x + \tfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \tfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \cdots && (-1<x<1, \alpha \in \mathbb{C}) \\
\frac{1}{1-x} & = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty x^n \\
& (-1<x<1) \\
\frac{1}{\sqrt{1-x}} & = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}x^2 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}x^3 + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n \\
& (-1 \le x<1)
\end{align}
}}} }}}}}
*''指数関数''や''逆三角関数''
''指数関数''や''逆三角関数''は、
#blockquote{{{{{#math(150){{{
\begin{align}
-\frac{d}{dx} \log (1-x) & = \frac{1}{1-x} && = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots & (-1<x<1)\\
\frac{d}{dx} \arctan x & = \frac{1}{1+x^2} && = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots & (-1<x<1)\\
\frac{d}{dx} \arcsin x & = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} && = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}x^4 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}x^6 + \cdots & (-1<x<1)
\end{align}
}}} }}}}}
と、二項定理とその派生の形に書けるので、
#blockquote{{{{{#math(150){{{
\begin{align}
-\log (1-x) & = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \cdots && = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} \\
& (-1 \le x<1) \\
\arctan x & = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots && \left ( = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \right ) \\
& (-1 \le x \le 1) \\
\arcsin x & = x + \frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\cdot\frac{x^5}{5} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\cdot\frac{x^7}{7} + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \\
& (-1 \le x \le 1)
\end{align}
}}} }}}}}
*その他の成果
いろいろ代入すると次が得られる。
#blockquote{{{{{#math(150){{{
\begin{align}
e&=e^1 &= & 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \\
\log 2 &&= & 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots && = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} \\
\frac{\pi}{4}&=\arctan 1 &= & 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots \\
\\
\frac{\pi}{2}&=\arcsin 1 & = & 1 + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\cdot\frac{1}{5} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\cdot\frac{1}{7} + \cdots
\end{align}
}}} }}}}}
右辺を見て最左辺が分かれば喜ばれるだろう。
----
忘れないようにここに書いておくと
#blockquote{{{{{#math(150){{{
\frac{\pi ^2}{6}= 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}
}}} }}}}}
*''指数関数''とその派生
#blockquote{{{{{#math(150){{{
\begin{align}
e^x & = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \\
\cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots && \left ( = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} \right ) \\
\sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots && \left ( = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right )
\end{align}
}}} }}}}}
>$$ \tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \cdots$$
*''二項定理''とその派生
二項定理は|x|<1のときしか使えないため、そこから導かれるものも定義域が|x|<1に制限される。
ただし定理 2.8 (アーベルの定理) を用いて、定義域をその端点まで拡張できるものもある。
2本目は''幾何級数''とよばれる。
#blockquote{{{{{#math(150){{{
\begin{align}
(1+x)^\alpha & = 1 + \tfrac{\alpha}{1!}x + \tfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \tfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \cdots && (-1<x<1, \alpha \in \mathbb{C}) \\
\frac{1}{1-x} & = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty x^n \\
& (-1<x<1) \\
\frac{1}{\sqrt{1-x}} & = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}x^2 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}x^3 + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n \\
& (-1 \le x<1)
\end{align}
}}} }}}}}
*''対数関数''や''逆三角関数''
''対数関数''や''逆三角関数''は、
#blockquote{{{{{#math(150){{{
\begin{align}
-\frac{d}{dx} \log (1-x) & = \frac{1}{1-x} && = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots & (-1<x<1)\\
\frac{d}{dx} \arctan x & = \frac{1}{1+x^2} && = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots & (-1<x<1)\\
\frac{d}{dx} \arcsin x & = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} && = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}x^4 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}x^6 + \cdots & (-1<x<1)
\end{align}
}}} }}}}}
と、二項定理とその派生の形に書けるので、
#blockquote{{{{{#math(150){{{
\begin{align}
-\log (1-x) & = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \cdots && = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} \\
& (-1 \le x<1) \\
\arctan x & = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots && \left ( = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \right ) \\
& (-1 \le x \le 1) \\
\arcsin x & = x + \frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\cdot\frac{x^5}{5} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\cdot\frac{x^7}{7} + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \\
& (-1 \le x \le 1)
\end{align}
}}} }}}}}
*その他の成果
いろいろ代入すると次が得られる。
#blockquote{{{{{#math(150){{{
\begin{align}
e&=e^1 &= & 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \\
\log 2 &&= & 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots && = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} \\
\frac{\pi}{4}&=\arctan 1 &= & 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots \\
\\
\frac{\pi}{2}&=\arcsin 1 & = & 1 + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\cdot\frac{1}{5} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\cdot\frac{1}{7} + \cdots
\end{align}
}}} }}}}}
右辺を見て最左辺が分かれば喜ばれるだろう。
----
忘れないようにここに書いておくと
#blockquote{{{{{#math(150){{{
\frac{\pi ^2}{6}= 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}
}}} }}}}}
