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*[[§1 実数]]
#blockquote(){{{定義 1.1
実数$$\mathbb{R}$$を
-四則が定められ (省略&sup(){気になる人は先生に質問してほしい})
-順序が定まり (公理 1.4.1)
-連続性の公理を満たし (公理 1.4)
-アルキメデスの原理が成り立つ (公理 1.2)
ような集合と定める。}}}
#blockquote(){{{公理 1.2 (アルキメデスの原理)
任意の正の実数&space()$$\epsilon$$&space()に対し、自然数$$N$$が存在して
$$\epsilon N>1$$となる。}}}
*[[§2 数列]]
#blockquote(){{{公理 1.4.1 (不等式に関する公理)
#region
a, b, cを実数とするとき、
(1)a≦a
(2)a≦bかつb≦aならば、a=b
(3)a≦bかつb≦cならば、a≦c
(4)「a≦bまたはb≦a」が成立
(5)a≦bならば、a+b≦b+c
(6)0≦aかつ0≦bならば、0≦ab
a≧bはb≦aのこととする。
#endregion
}}}
#blockquote(){{{定義 1.4.2 (絶対値の定義)
省略。 }}}
#blockquote(){{{定義 1.3 (収束)
数列a&sub(){n}が実数αに収束するとは、
nを限りなく大きくしたときに |a&sub(){n}-α| が限りなく零に近づくことと定める。
a&sub(){n}がαに収束することを、$$ \lim_{n \to \infty}a_n = \alpha$$と書く。
言い換えると、a&sub(){n}がαに収束するとは、
「任意の正の実数 ε>0, ε∈Rに対して、
ある自然数Nが存在して、
任煮の番号n≧Nに対して |a&sub(){n}-α|≦ε となること」。
}}}
#blockquote(){{{公理 1.4 (区間縮小法, はさみうちの原理)
閉区間の入れ子 $$I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots$$
すなわち$$I_1=[a_1, b_1], I_2=[a_2, b_2], \ldots (a_1 \le a_2 \le a_3 \le \cdots \le b_3 \le b_2 \le b_1)$$
があって、
I&sub(){n}の長さ（b&sub(){n}-a&sub(){n}）が零に収束すると仮定する。
このときすべての区間I&sub(){n}に共通に含まれる実数の定数cがただひとつ存在する。
}}}
#blockquote(){{{命題 1.5 (四則の極限の交換)
lim a&sub(){n}=α, lim b&sub(){n}=βとする。
(1)lim (a&sub(){n}±b&sub(){n})=α±β
(2)lim a&sub(){n}b&sub(){n}=αβ
(3)lim (a&sub(){n}/b&sub(){n})=α/β (ただしβ≠0)
}}}
*[[§4 有界な単調数列の収束性]]
#blockquote(){{{命題 1.6
上に有界な単調増加数列は収束する。
つまり、$$a_1 \le a_2 \le \cdots \le M$$ならば
$$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$$なる実数αが存在する。}}}
#blockquote(){{{命題 1.7 (ピタゴラスの定理)}}}
*§5 R^n
#blockquote(){{{定義 1.8 (三角関数の古典的な定義)}}}
#blockquote(){{{命題 1.9 (余弦定理)}}}
#blockquote(){{{定義 1.10 (ユークリッド空間とは)}}}
*[[§6 複素数とガウス平面]]
定義(複素数とその四則、共役複素数、絶対値、偏角)
$$ \mathbb{C}=\{ x+iy | x, y \in \mathbb{R}, i^2=-1 \} $$ を&bold(){複素数}という。
C には四則が定められる。
$$\begin{align} (a+ib) \pm (c+id) &= (a \pm c)+i(b \pm d) \\ (a+ib) (c+id) &= (ac-bd)+i(ad+bc) \\ \frac{a+ib}{c+id} &= \frac{ (a+ib) (c-id) }{ c^2 + d^2 } \end{align}$$
z=x+iy の&bold(){絶対値} |z| を、
$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x+iy)(x-iy)}=\sqrt{z \cdot \bar z}$$ とする。
($$\bar z=x-iy$$ を z の&bold(){共役複素数}という。)
z の&bold(){偏角} θ を、
$$ \cos \theta =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \ \ \sin \theta =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} $$ で定める。
>z=0 のときの θ はすべての実数とする。ここでは深く考えない。
C を平面状の点と同一視した場合、この平面を&bold(){複素平面}とか&bold(){ガウス平面}と呼ぶことがある。
絶対値は、原点からの距離に相当する。
任意の複素数は、絶対値と偏角によって $$ z=r(\cos \theta + i \sin \theta) $$ と表せる。
>z=0 のときも成り立つ。
特に、絶対値1の複素数は cosθ+isinθ と書けて、単位円に相当する。
#blockquote(){{{命題 1.11
絶対値 r, 偏角 α の複素数 r(cosα+isinα) に、
絶対値 s, 偏角 β の複素数 s(cosβ+isinβ) をかけると、
絶対値が s 倍され、偏角が β だけ増加し、
積は、rs(cos(α+β)+isin(α+β)) となる。}}}
#blockquote(){{{定理 1.12 (オイラーの公式)
$$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$$}}}
*[[§7 級数]]
定義(級数について)
a&sub(){1}, a&sub(){2}, a&sub(){3}, ... を実数列とする。
これから得られる数列 s&sub(){n} を、
$$ \begin{align} s_1&=a_1 \\ s_2&=a_1+a_2 \\ s_3&=a_1+a_2+a_3 \\ \vdots \\ s_n=a_1+a_2+\cdots++a_n \end{align} $$
と定める。
つまり、$$ s_n=\sum_{i=1}^n a_i $$
もし、s&sub(){n} がある実数 α に収束するとき、
つまり、$$ \lim_{n \to \infty} s_n = \alpha $$ となるとき、
$$ \sum_{i=1}^\infty a_i = \alpha $$
と書く。これを無限級数と呼ぶ。
#blockquote(){{{定理 1.13 (オイラー)
$$ \begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} &= \frac{\pi^2}{6} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} &= \frac{\pi^4}{90} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^6} &= \frac{\pi^6}{945} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^8} &= \frac{\pi^8}{9450} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{10}} &= \frac{\pi^{10}}{93555} \end{align} $$}}}
*[[§ 三角関数の無限級数表示と無限積表示]]
#blockquote(){{{定義 1.14 (指数関数、三角関数の定義)
任意の $$x\in\mathbb{C}$$ に対して、e&sup(){x}, cos x, sin x を次のように定める。
$$ \begin{align} e^x & = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \\ \cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots && \left ( = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} \right ) \\ \sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots && \left ( = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right ) \end{align} $$}}}
#blockquote(){{{定理 1.15 (オイラーの積公式)
$$ \sin x = x\prod_{n=1}^\infty \left( 1-\frac{x^2}{n^2\pi^2} \right) = x \left( 1-\frac{x^2}{\pi^2} \right) \left( 1-\frac{x^2}{4\pi^2} \right) \left( 1-\frac{x^2}{9\pi^2} \right) \cdots $$}}}
#blockquote(){{{命題 1.16 (ウォリスの公式)
$$ \frac{\pi}{2} = \frac{2\times2}{1\times3} \cdot \frac{4\times4}{3\times5} \cdot \frac{6\times6}{5\times7} \cdot \frac{8\times8}{7\times9} \cdots $$}}}
#blockquote(){{{定理 (二項定理)
α∈R, ''|x|<1'' に対して、次が成り立つ。
$$ (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{1 \cdot 2} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} x^3 + \cdots $$}}}
*§9 正項級数の収束条件と交代級数の例
定義(正項級数)
正の項 a&sub(){n}>0 からなる級数 $$ \sum_{n=0}^\infty a_n $$ を''正項級数''と呼ぼう。
#blockquote(){{{命題 1.17
$$ \textstyle \sum a_n $$, $$ \textstyle \sum c_n $$ を正項級数、$$ \textstyle \sum c_n $$ は収束するものとする。
このとき、次が成立。
(1) すべての n について $$ a_n \le c_n $$ ならば $$ \textstyle \sum a_n $$ も収束。
(2) すべての n について $$ \tfrac{a_{n+1}}{a_n} \le \tfrac{c_{n+1}}{c_n} $$ ならば $$ \textstyle \sum a_n $$ も収束。}}}
#blockquote(){{{命題 1.18 (コーシーの判定法)
0<r<1 なる実数 r が存在して、
ある n&sub(){0} 以上のすべての整数 n について $$ \sqrt[n]{a_n} \le r $$ が成立すれば $$ \textstyle \sum a_n $$ は収束。}}}
#blockquote(){{{命題 1.19 (ダランベールの判定法)
0<r<1 なる実数 r が存在して、
ある n&sub(){0} 以上のすべての整数 n について $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} \le r $$ が成立すれば $$ \textstyle \sum a_n $$ は収束。}}}
#blockquote(){{{命題 1.20 (ラーベの判定法)
$$ -\infty \le r < -1 $$ なる実数 r が存在して、
ある n&sub(){0} 以上のすべての整数 n について $$ n \left( \frac{a_{n+1}}{a_n} -1 \right) \le r $$ が成立すれば $$ \textstyle \sum a_n $$ は収束。}}}
項の正負が交互に入れ替わる無限級数を''交代級数''という。
#blockquote(){{{命題 1.21
各項の絶対値が単調減少し零に収束する交代級数は収束する。}}}
*[[§ 連続関数]]
#blockquote(){{{定義 1.22
f(x)が[a, b]に含まれる点ｙで連続であるとは、
(※) ｘがｙに限りなく近づくときｆ(x)もｆ(y)に限りなく近づくこと
と定める。
f(x)が任意のy∈[a, b]で連続のとき
f(x)は[a, b]で連続であるという。 }}}
#blockquote(){{{定理 1.23 (中間値の定理)
f(x)が[a, b]で連続、f(a)<0、f(b)>0 とすると、
あるc∈(a, b)においてf(c)=0となる。 }}}
#blockquote(){{{定理 1.25
f(x)が[a, b]で連続、内点c∈(a, b)でf(c)>0とする。
このとき、cを含み、任意のx∈Uに対してf(x)>0となるような閉区間Uが存在する。 }}}
#blockquote(){{{定理 1.26 (ボルツァーノ=ワイヤシュトラスの定理)
任意の有界な数列a&sub(){n}は、収束する部分列a&sub(){n(k)}をもつ。
言い換えると、
全てのnでa&sub(){n}∈[a, b]のとき、a&sub(){n}の部分列a&sub(){n(k)}で
$$\lim_{k \to \infty}a_{n(k)}=c \in[a, b]$$
を満たすものが存在する。 }}}
#blockquote(){{{命題 1.27
有界な数の集合A(ただしA≠ø)には上限sup(A)、下限sub(A)が存在する。}}}
#blockquote(){{{定理 1.24 (最大値、最小値の存在) ''(夏学期の大定理)''
[a, b]上の連続関数は、その区間内に最大値、最小値をもつ。 }}}
以上。
*[[§1 実数]]
#blockquote(){{{定義 1.1
実数$$\mathbb{R}$$を
-四則が定められ (省略&sup(){気になる人は先生に質問してほしい})
-順序が定まり (公理 1.4.1)
-連続性の公理を満たし (公理 1.4)
-アルキメデスの原理が成り立つ (公理 1.2)
ような集合と定める。}}}
#blockquote(){{{公理 1.2 (アルキメデスの原理)
任意の正の実数&space()$$\epsilon$$&space()に対し、自然数$$N$$が存在して
$$\epsilon N>1$$となる。}}}
*[[§2 数列]]
#blockquote(){{{公理 1.4.1 (不等式に関する公理)
#region
a, b, cを実数とするとき、
(1)a≦a
(2)a≦bかつb≦aならば、a=b
(3)a≦bかつb≦cならば、a≦c
(4)「a≦bまたはb≦a」が成立
(5)a≦bならば、a+b≦b+c
(6)0≦aかつ0≦bならば、0≦ab
a≧bはb≦aのこととする。
#endregion
}}}
#blockquote(){{{定義 1.4.2 (絶対値の定義)
省略。 }}}
#blockquote(){{{定義 1.3 (収束)
数列a&sub(){n}が実数αに収束するとは、
nを限りなく大きくしたときに |a&sub(){n}-α| が限りなく零に近づくことと定める。
a&sub(){n}がαに収束することを、$$ \lim_{n \to \infty}a_n = \alpha$$と書く。
言い換えると、a&sub(){n}がαに収束するとは、
「任意の正の実数 ε>0, ε∈Rに対して、
ある自然数Nが存在して、
任煮の番号n≧Nに対して |a&sub(){n}-α|≦ε となること」。
}}}
#blockquote(){{{公理 1.4 (区間縮小法, はさみうちの原理)
閉区間の入れ子 $$I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots$$
すなわち$$I_1=[a_1, b_1], I_2=[a_2, b_2], \ldots (a_1 \le a_2 \le a_3 \le \cdots \le b_3 \le b_2 \le b_1)$$
があって、
I&sub(){n}の長さ（b&sub(){n}-a&sub(){n}）が零に収束すると仮定する。
このときすべての区間I&sub(){n}に共通に含まれる実数の定数cがただひとつ存在する。
}}}
#blockquote(){{{命題 1.5 (四則の極限の交換)
lim a&sub(){n}=α, lim b&sub(){n}=βとする。
(1)lim (a&sub(){n}±b&sub(){n})=α±β
(2)lim a&sub(){n}b&sub(){n}=αβ
(3)lim (a&sub(){n}/b&sub(){n})=α/β (ただしβ≠0)
}}}
*[[§4 有界な単調数列の収束性]]
#blockquote(){{{命題 1.6
上に有界な単調増加数列は収束する。
つまり、$$a_1 \le a_2 \le \cdots \le M$$ならば
$$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$$なる実数αが存在する。}}}
#blockquote(){{{命題 1.7 (ピタゴラスの定理)}}}
*§5 R^n
#blockquote(){{{定義 1.8 (三角関数の古典的な定義)}}}
#blockquote(){{{命題 1.9 (余弦定理)}}}
#blockquote(){{{定義 1.10 (ユークリッド空間とは)}}}
*[[§6 複素数とガウス平面]]
定義(複素数とその四則、共役複素数、絶対値、偏角)
$$ \mathbb{C}=\{ x+iy | x, y \in \mathbb{R}, i^2=-1 \} $$ を&bold(){複素数}という。
C には四則が定められる。
$$\begin{align} (a+ib) \pm (c+id) &= (a \pm c)+i(b \pm d) \\ (a+ib) (c+id) &= (ac-bd)+i(ad+bc) \\ \frac{a+ib}{c+id} &= \frac{ (a+ib) (c-id) }{ c^2 + d^2 } \end{align}$$
z=x+iy の&bold(){絶対値} |z| を、
$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x+iy)(x-iy)}=\sqrt{z \cdot \bar z}$$ とする。
($$\bar z=x-iy$$ を z の&bold(){共役複素数}という。)
z の&bold(){偏角} θ を、
$$ \cos \theta =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \ \ \sin \theta =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} $$ で定める。
>z=0 のときの θ はすべての実数とする。ここでは深く考えない。
C を平面状の点と同一視した場合、この平面を&bold(){複素平面}とか&bold(){ガウス平面}と呼ぶことがある。
絶対値は、原点からの距離に相当する。
任意の複素数は、絶対値と偏角によって $$ z=r(\cos \theta + i \sin \theta) $$ と表せる。
>z=0 のときも成り立つ。
特に、絶対値1の複素数は cosθ+isinθ と書けて、単位円に相当する。
#blockquote(){{{命題 1.11
絶対値 r, 偏角 α の複素数 r(cosα+isinα) に、
絶対値 s, 偏角 β の複素数 s(cosβ+isinβ) をかけると、
絶対値が s 倍され、偏角が β だけ増加し、
積は、rs(cos(α+β)+isin(α+β)) となる。}}}
#blockquote(){{{定理 1.12 (オイラーの公式)
$$e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$$}}}
*[[§7 級数]]
定義(級数について)
a&sub(){1}, a&sub(){2}, a&sub(){3}, ... を実数列とする。
これから得られる数列 s&sub(){n} を、
$$ \begin{align} s_1&=a_1 \\ s_2&=a_1+a_2 \\ s_3&=a_1+a_2+a_3 \\ \vdots \\ s_n=a_1+a_2+\cdots++a_n \end{align} $$
と定める。
つまり、$$ s_n=\sum_{i=1}^n a_i $$
もし、s&sub(){n} がある実数 α に収束するとき、
つまり、$$ \lim_{n \to \infty} s_n = \alpha $$ となるとき、
$$ \sum_{i=1}^\infty a_i = \alpha $$
と書く。これを無限級数と呼ぶ。
#blockquote(){{{定理 1.13 (オイラー)
$$ \begin{align} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} &= \frac{\pi^2}{6} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} &= \frac{\pi^4}{90} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^6} &= \frac{\pi^6}{945} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^8} &= \frac{\pi^8}{9450} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{10}} &= \frac{\pi^{10}}{93555} \end{align} $$}}}
*[[§ 三角関数の無限級数表示と無限積表示]]
#blockquote(){{{定義 1.14 (指数関数、三角関数の定義)
任意の $$x\in\mathbb{C}$$ に対して、e&sup(){x}, cos x, sin x を次のように定める。
$$ \begin{align} e^x & = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots && = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \\ \cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots && \left ( = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} \right ) \\ \sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots && \left ( = \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \right ) \end{align} $$}}}
#blockquote(){{{定理 1.15 (オイラーの積公式)
$$ \sin x = x\prod_{n=1}^\infty \left( 1-\frac{x^2}{n^2\pi^2} \right) = x \left( 1-\frac{x^2}{\pi^2} \right) \left( 1-\frac{x^2}{4\pi^2} \right) \left( 1-\frac{x^2}{9\pi^2} \right) \cdots $$}}}
#blockquote(){{{命題 1.16 (ウォリスの公式)
$$ \frac{\pi}{2} = \frac{2\times2}{1\times3} \cdot \frac{4\times4}{3\times5} \cdot \frac{6\times6}{5\times7} \cdot \frac{8\times8}{7\times9} \cdots $$}}}
#blockquote(){{{定理 (二項定理)
α∈R, ''|x|<1'' に対して、次が成り立つ。
$$ (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{1 \cdot 2} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} x^3 + \cdots $$}}}
*[[§9 正項級数の収束条件と交代級数の例]]
定義(正項級数)
正の項 a&sub(){n}>0 からなる級数 $$ \sum_{n=0}^\infty a_n $$ を''正項級数''と呼ぼう。
#blockquote(){{{命題 1.17
$$ \textstyle \sum a_n $$, $$ \textstyle \sum c_n $$ を正項級数、$$ \textstyle \sum c_n $$ は収束するものとする。
このとき、次が成立。
(1) すべての n について $$ a_n \le c_n $$ ならば $$ \textstyle \sum a_n $$ も収束。
(2) すべての n について $$ \tfrac{a_{n+1}}{a_n} \le \tfrac{c_{n+1}}{c_n} $$ ならば $$ \textstyle \sum a_n $$ も収束。}}}
#blockquote(){{{命題 1.18 (コーシーの判定法)
0<r<1 なる実数 r が存在して、
ある n&sub(){0} 以上のすべての整数 n について $$ \sqrt[n]{a_n} \le r $$ が成立すれば $$ \textstyle \sum a_n $$ は収束。}}}
#blockquote(){{{命題 1.19 (ダランベールの判定法)
0<r<1 なる実数 r が存在して、
ある n&sub(){0} 以上のすべての整数 n について $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} \le r $$ が成立すれば $$ \textstyle \sum a_n $$ は収束。}}}
#blockquote(){{{命題 1.20 (ラーベの判定法)
$$ -\infty \le r < -1 $$ なる実数 r が存在して、
ある n&sub(){0} 以上のすべての整数 n について $$ n \left( \frac{a_{n+1}}{a_n} -1 \right) \le r $$ が成立すれば $$ \textstyle \sum a_n $$ は収束。}}}
項の正負が交互に入れ替わる無限級数を''交代級数''という。
#blockquote(){{{命題 1.21
各項の絶対値が単調減少し零に収束する交代級数は収束する。}}}
*[[§ 連続関数]]
#blockquote(){{{定義 1.22
f(x)が[a, b]に含まれる点ｙで連続であるとは、
(※) ｘがｙに限りなく近づくときｆ(x)もｆ(y)に限りなく近づくこと
と定める。
f(x)が任意のy∈[a, b]で連続のとき
f(x)は[a, b]で連続であるという。 }}}
#blockquote(){{{定理 1.23 (中間値の定理)
f(x)が[a, b]で連続、f(a)<0、f(b)>0 とすると、
あるc∈(a, b)においてf(c)=0となる。 }}}
#blockquote(){{{定理 1.25
f(x)が[a, b]で連続、内点c∈(a, b)でf(c)>0とする。
このとき、cを含み、任意のx∈Uに対してf(x)>0となるような閉区間Uが存在する。 }}}
#blockquote(){{{定理 1.26 (ボルツァーノ=ワイヤシュトラスの定理)
任意の有界な数列a&sub(){n}は、収束する部分列a&sub(){n(k)}をもつ。
言い換えると、
全てのnでa&sub(){n}∈[a, b]のとき、a&sub(){n}の部分列a&sub(){n(k)}で
$$\lim_{k \to \infty}a_{n(k)}=c \in[a, b]$$
を満たすものが存在する。 }}}
#blockquote(){{{命題 1.27
有界な数の集合A(ただしA≠ø)には上限sup(A)、下限sub(A)が存在する。}}}
#blockquote(){{{定理 1.24 (最大値、最小値の存在) ''(夏学期の大定理)''
[a, b]上の連続関数は、その区間内に最大値、最小値をもつ。 }}}
以上。
