§2 数列

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#blockquote(){{{公理 1.4.1 (不等式に関する公理) #region a, b, cを実数とするとき、 (1)a≦a (2)a≦bかつb≦aならば、a=b (3)a≦bかつb≦cならば、a≦c (4)「a≦bまたはb≦a」が成立 (5)a≦bならば、a+b≦b+c (6)0≦aかつ0≦bならば、0≦ab a≧bはb≦aのこととする。 #endregion}}} #blockquote(){{{定義 1.4.2 (絶対値の定義) 省略。 }}} $$(a_n)_{n\in N}$$と書いたら、$$ a_0, a_1, a_2, \ldots$$のこととする。 これ以降は、$$a_n \in R$$とする。すなわち、無限実数列を考える。 #blockquote(){{{定義 1.3 (収束) 数列a&sub(){n}が実数αに収束するとは、 nを限りなく大きくしたときに |a&sub(){n}-α| が限りなく零に近づくことと定める。 a&sub(){n}がαに収束することを、$$ \lim_{n \to \infty}a_n = \alpha$$と書く。 言い換えると、a&sub(){n}がαに収束するとは、 「任意の正の実数 ε>0, ε∈Rに対して、 ある自然数Nが存在して、 任煮の番号n≧Nに対して |a&sub(){n}-α|≦ε となること」。 }}} 言い換えた後で使われている言い回しは&bold(){ε-N論法}などと呼ばれ恐れられているが、 収束についての正確な議論のためには不可欠である。 ただ、&bold(){数学1Bを履修する限りでは重要ではないし、試験では全く問われないだろう。} 命題 1.5 を証明するために見せていると思えばよい。 (例) $$a_n = 1/n \ (n=1, 2, 3, \ldots)$$ とすると、 $$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$$ #region(plus 証明) '''Proof.''' 任意の正数 ε>0 に対して、 N=2/εとすれば、 任煮の番号n≧Nに対して 0<a&sub(){n}=1/n≦ε/2 なので、 |a&sub(){n}-0|≦ε/2≦ε ∥ #endregion #blockquote(){{{公理 1.4 (区間縮小法, はさみうちの原理) 閉区間の入れ子 $$I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots$$ すなわち$$I_1=[a_1, b_1], I_2=[a_2, b_2], \ldots (a_1 \le a_2 \le a_3 \le \cdots \le b_3 \le b_2 \le b_1)$$ があって、 I&sub(){n}の長さ(b&sub(){n}-a&sub(){n})が零に収束すると仮定する。 このときすべての区間I&sub(){n}に共通に含まれる実数の定数cがただひとつ存在する。 }}} (例) x&sup(){2}=2, x>0を満たす実数xがただひとつ存在する。 '''Proof.''' #math(128){{{ \begin{array}{ll} a_1=1 & b_1=2 \\ a_2=1.4 & b_2=1.5 \\ a_3=1.41 & b_3=1.42 \\ \vdots & \vdots \end{array} }}} とすると、 $$I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots$$かつ $$\lim_{n \to \infty} (b_n-a_n) = 0$$ となるから、 全てのI&sub(){n}に含まれる実数cがただひとつ存在する。 >ここで証明終わりではない! >「I&sub(){n}に含まれる」と「x&sup(){2}=2, x>0」の関係をここから述べる。 $$ a_n^2 \le 2 \le b_n^2 $$だから、 $$\begin{align} & 0 \le 2-a_n^2 \le b_n^2-a_n^2, \\ & 0 \le b_n^2-2 \le b_n^2-a_n^2 \end{align}$$ 最右辺は $$ b_n^2-a_n^2 = (b_n+a_n)(b_n-a_n) \le (2+2)(b_n-a_n) \xrightarrow{n \to \infty} 0 $$ なので、 $$ \lim_{n \to \infty}a_n^2=\lim_{n \to \infty}b_n^2=2 $$が得られる。 a&sub(){n}≦c≦b&sub(){n}より、 $$ 0=\lim(b_n^2-a_n^2)=\underbrace{\lim(b_n^2-c^2)}_{\ge 0}+\underbrace{\lim(c^2-a_n^2)}_{\ge 0} $$ よって、$$ \lim(b_n^2-c^2)=\lim(c^2-a_n^2)=0 $$ ゆえに、$$ c^2=\lim a_n^2=2 $$ また、0<a&sub(){n}≦cより、c>0 ∥ (例)おわり #blockquote(){{{命題 1.5 (四則の極限の交換) lim a&sub(){n}=α, lim b&sub(){n}=βとする。 (1)lim (a&sub(){n}±b&sub(){n})=α±β (2)lim a&sub(){n}b&sub(){n}=αβ (3)lim (a&sub(){n}/b&sub(){n})=α/β (ただしβ≠0) }}} '''Proof.''' (1) $$ 0 \le |a_n+b_n-(\alpha+\beta)| \le |a_n-\alpha|+|b_n-\beta| \xrightarrow{n \to \infty} 0 $$ (2) $$ 0 \le |a_nb_n-\alpha\beta| = |a_nb_n-a_n\beta+a_n\beta-\alpha\beta| \le |a_n||b_n-\beta|+|a_n-\alpha||\beta| \xrightarrow{n \to \infty} 0 $$ (3) $$ \lim (1/b_n) = 1/\beta $$を示せば(2)より示される。 $$ \left|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{\beta}\right| = \left|\frac{\beta-b_n}{b_n\beta}\right| = \frac{|\beta-b_n|}{|b_n||\beta|} \xrightarrow{n \to \infty} 0 $$ ∥ ---- *次:[[§4 有界な単調数列の収束性]]
#blockquote(){{{公理 1.4.1 (不等式に関する公理) #region a, b, cを実数とするとき、 (1)a≦a (2)a≦bかつb≦aならば、a=b (3)a≦bかつb≦cならば、a≦c (4)「a≦bまたはb≦a」が成立 (5)a≦bならば、a+b≦b+c (6)0≦aかつ0≦bならば、0≦ab a≧bはb≦aのこととする。 #endregion}}} #blockquote(){{{定義 1.4.2 (絶対値の定義) 省略。 }}} $$(a_n)_{n\in N}$$と書いたら、$$ a_0, a_1, a_2, \ldots$$のこととする。 これ以降は、$$a_n \in R$$とする。すなわち、無限実数列を考える。 #blockquote(){{{定義 1.3 (収束) 数列a&sub(){n}が実数αに収束するとは、 nを限りなく大きくしたときに |a&sub(){n}-α| が限りなく零に近づくことと定める。 a&sub(){n}がαに収束することを、$$ \lim_{n \to \infty}a_n = \alpha$$と書く。 言い換えると、a&sub(){n}がαに収束するとは、 「任意の正の実数 ε>0, ε∈Rに対して、 ある自然数Nが存在して、 任煮の番号n≧Nに対して |a&sub(){n}-α|≦ε となること」。 }}} 言い換えた後で使われている言い回しは&bold(){ε-N論法}などと呼ばれ恐れられているが、 収束についての正確な議論のためには不可欠である。 ただ、&bold(){数学1Bを履修する限りでは重要ではないし、試験では全く問われないだろう。} 実は公理 1.4 や命題 1.5 などの中で無意識に使われている。 (例) $$a_n = 1/n \ (n=1, 2, 3, \ldots)$$ とすると、 $$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$$ #region(plus 証明) '''Proof.''' 任意の正数 ε>0 に対して、 N=2/εとすれば、 任煮の番号n≧Nに対して 0<a&sub(){n}=1/n≦ε/2 なので、 |a&sub(){n}-0|≦ε/2≦ε ∥ #endregion #blockquote(){{{公理 1.4 (区間縮小法, はさみうちの原理) 閉区間の入れ子 $$I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots$$ すなわち$$I_1=[a_1, b_1], I_2=[a_2, b_2], \ldots (a_1 \le a_2 \le a_3 \le \cdots \le b_3 \le b_2 \le b_1)$$ があって、 I&sub(){n}の長さ(b&sub(){n}-a&sub(){n})が零に収束すると仮定する。 このときすべての区間I&sub(){n}に共通に含まれる実数の定数cがただひとつ存在する。 }}} (例) x&sup(){2}=2, x>0を満たす実数xがただひとつ存在する。 '''Proof.''' #math(128){{{ \begin{array}{ll} a_1=1 & b_1=2 \\ a_2=1.4 & b_2=1.5 \\ a_3=1.41 & b_3=1.42 \\ \vdots & \vdots \end{array} }}} とすると、 $$I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots$$かつ $$\lim_{n \to \infty} (b_n-a_n) = 0$$ となるから、 全てのI&sub(){n}に含まれる実数cがただひとつ存在する。 >ここで証明終わりではない! >「I&sub(){n}に含まれる」と「x&sup(){2}=2, x>0」の関係をここから述べる。 $$ a_n^2 \le 2 \le b_n^2 $$だから、 $$\begin{align} & 0 \le 2-a_n^2 \le b_n^2-a_n^2, \\ & 0 \le b_n^2-2 \le b_n^2-a_n^2 \end{align}$$ 最右辺は $$ b_n^2-a_n^2 = (b_n+a_n)(b_n-a_n) \le (2+2)(b_n-a_n) \xrightarrow{n \to \infty} 0 $$ なので、 $$ \lim_{n \to \infty}a_n^2=\lim_{n \to \infty}b_n^2=2 $$が得られる。 a&sub(){n}≦c≦b&sub(){n}より、 $$ 0=\lim(b_n^2-a_n^2)=\underbrace{\lim(b_n^2-c^2)}_{\ge 0}+\underbrace{\lim(c^2-a_n^2)}_{\ge 0} $$ よって、$$ \lim(b_n^2-c^2)=\lim(c^2-a_n^2)=0 $$ ゆえに、$$ c^2=\lim a_n^2=2 $$ また、0<a&sub(){n}≦cより、c>0 ∥ (例)おわり #blockquote(){{{命題 1.5 (四則の極限の交換) lim a&sub(){n}=α, lim b&sub(){n}=βとする。 (1)lim (a&sub(){n}±b&sub(){n})=α±β (2)lim a&sub(){n}b&sub(){n}=αβ (3)lim (a&sub(){n}/b&sub(){n})=α/β (ただしβ≠0) }}} '''Proof.''' (1) $$ 0 \le |a_n+b_n-(\alpha+\beta)| \le |a_n-\alpha|+|b_n-\beta| \xrightarrow{n \to \infty} 0 $$ (2) $$ 0 \le |a_nb_n-\alpha\beta| = |a_nb_n-a_n\beta+a_n\beta-\alpha\beta| \le |a_n||b_n-\beta|+|a_n-\alpha||\beta| \xrightarrow{n \to \infty} 0 $$ (3) $$ \lim (1/b_n) = 1/\beta $$を示せば(2)より示される。 $$ \left|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{\beta}\right| = \left|\frac{\beta-b_n}{b_n\beta}\right| = \frac{|\beta-b_n|}{|b_n||\beta|} \xrightarrow{n \to \infty} 0 $$ ∥ ---- *次:[[§4 有界な単調数列の収束性]]

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