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#blockquote(){{{公理 1.4.1 (不等式に関する公理)
#region
a, b, cを実数とするとき、
(1)a≦a
(2)a≦bかつb≦aならば、a=b
(3)a≦bかつb≦cならば、a≦c
(4)「a≦bまたはb≦a」が成立
(5)a≦bならば、a+b≦b+c
(6)0≦aかつ0≦bならば、0≦ab
a≧bはb≦aのこととする。
#endregion}}}
#blockquote(){{{定義 1.4.2 (絶対値の定義)
省略。 }}}
$$(a_n)_{n\in N}$$と書いたら、$$ a_0, a_1, a_2, \ldots$$のこととする。
これ以降は、$$a_n \in R$$とする。すなわち、無限実数列を考える。
#blockquote(){{{定義 1.3 (収束)
数列a&sub(){n}が実数αに収束するとは、
nを限りなく大きくしたときに |a&sub(){n}-α| が限りなく零に近づくことと定める。
a&sub(){n}がαに収束することを、$$ \lim_{n \to \infty}a_n = \alpha$$と書く。
言い換えると、a&sub(){n}がαに収束するとは、
「任意の正の実数 ε>0, ε∈Rに対して、
ある自然数Nが存在して、
任煮の番号n≧Nに対して |a&sub(){n}-α|≦ε となること」。
}}}
言い換えた後で使われている言い回しは&bold(){ε-N論法}などと呼ばれ恐れられているが、
収束についての正確な議論のためには不可欠である。
ただ、&bold(){数学1Bを履修する限りでは重要ではないし、試験では全く問われないだろう。}
命題 1.5 を証明するために見せていると思えばよい。
(例)
$$a_n = 1/n \ (n=1, 2, 3, \ldots)$$ とすると、 $$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$$
#region(plus 証明)
'''Proof.'''
任意の正数 ε>0 に対して、
N=2/εとすれば、
任煮の番号n≧Nに対して 0<a&sub(){n}=1/n≦ε/2 なので、
|a&sub(){n}-0|≦ε/2≦ε ∥
#endregion
#blockquote(){{{公理 1.4 (区間縮小法, はさみうちの原理)
閉区間の入れ子 $$I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots$$
すなわち$$I_1=[a_1, b_1], I_2=[a_2, b_2], \ldots (a_1 \le a_2 \le a_3 \le \cdots \le b_3 \le b_2 \le b_1)$$
があって、
I&sub(){n}の長さ(b&sub(){n}-a&sub(){n})が零に収束すると仮定する。
このときすべての区間I&sub(){n}に共通に含まれる実数の定数cがただひとつ存在する。
}}}
(例)
x&sup(){2}=2, x>0を満たす実数xがただひとつ存在する。
'''Proof.'''
#math(128){{{
\begin{array}{ll}
a_1=1 & b_1=2 \\
a_2=1.4 & b_2=1.5 \\
a_3=1.41 & b_3=1.42 \\
\vdots & \vdots
\end{array}
}}}
とすると、
$$I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots$$かつ
$$\lim_{n \to \infty} (b_n-a_n) = 0$$
となるから、
全てのI&sub(){n}に含まれる実数cがただひとつ存在する。
>ここで証明終わりではない!
>「I&sub(){n}に含まれる」と「x&sup(){2}=2, x>0」の関係をここから述べる。
$$ a_n^2 \le 2 \le b_n^2 $$だから、
$$\begin{align} & 0 \le 2-a_n^2 \le b_n^2-a_n^2, \\ & 0 \le b_n^2-2 \le b_n^2-a_n^2 \end{align}$$
最右辺は
$$ b_n^2-a_n^2 = (b_n+a_n)(b_n-a_n) \le (2+2)(b_n-a_n) \xrightarrow{n \to \infty} 0 $$
なので、
$$ \lim_{n \to \infty}a_n^2=\lim_{n \to \infty}b_n^2=2 $$が得られる。
a&sub(){n}≦c≦b&sub(){n}より、
$$ 0=\lim(b_n^2-a_n^2)=\underbrace{\lim(b_n^2-c^2)}_{\ge 0}+\underbrace{\lim(c^2-a_n^2)}_{\ge 0} $$
よって、$$ \lim(b_n^2-c^2)=\lim(c^2-a_n^2)=0 $$
ゆえに、$$ c^2=\lim a_n^2=2 $$
また、0<a&sub(){n}≦cより、c>0 ∥
(例)おわり
#blockquote(){{{命題 1.5 (四則の極限の交換)
lim a&sub(){n}=α, lim b&sub(){n}=βとする。
(1)lim (a&sub(){n}±b&sub(){n})=α±β
(2)lim a&sub(){n}b&sub(){n}=αβ
(3)lim (a&sub(){n}/b&sub(){n})=α/β (ただしβ≠0)
}}}
'''Proof.'''
(1) $$ 0 \le |a_n+b_n-(\alpha+\beta)| \le |a_n-\alpha|+|b_n-\beta| \xrightarrow{n \to \infty} 0 $$
(2) $$ 0 \le |a_nb_n-\alpha\beta| = |a_nb_n-a_n\beta+a_n\beta-\alpha\beta| \le |a_n||b_n-\beta|+|a_n-\alpha||\beta| \xrightarrow{n \to \infty} 0 $$
(3) $$ \lim (1/b_n) = 1/\beta $$を示せば(2)より示される。
$$ \left|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{\beta}\right| = \left|\frac{\beta-b_n}{b_n\beta}\right| = \frac{|\beta-b_n|}{|b_n||\beta|} \xrightarrow{n \to \infty} 0 $$ ∥
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*次:[[§4 有界な単調数列の収束性]]
#blockquote(){{{公理 1.4.1 (不等式に関する公理)
#region
a, b, cを実数とするとき、
(1)a≦a
(2)a≦bかつb≦aならば、a=b
(3)a≦bかつb≦cならば、a≦c
(4)「a≦bまたはb≦a」が成立
(5)a≦bならば、a+b≦b+c
(6)0≦aかつ0≦bならば、0≦ab
a≧bはb≦aのこととする。
#endregion}}}
#blockquote(){{{定義 1.4.2 (絶対値の定義)
省略。 }}}
$$(a_n)_{n\in N}$$と書いたら、$$ a_0, a_1, a_2, \ldots$$のこととする。
これ以降は、$$a_n \in R$$とする。すなわち、無限実数列を考える。
#blockquote(){{{定義 1.3 (収束)
数列a&sub(){n}が実数αに収束するとは、
nを限りなく大きくしたときに |a&sub(){n}-α| が限りなく零に近づくことと定める。
a&sub(){n}がαに収束することを、$$ \lim_{n \to \infty}a_n = \alpha$$と書く。
言い換えると、a&sub(){n}がαに収束するとは、
「任意の正の実数 ε>0, ε∈Rに対して、
ある自然数Nが存在して、
任煮の番号n≧Nに対して |a&sub(){n}-α|≦ε となること」。
}}}
言い換えた後で使われている言い回しは&bold(){ε-N論法}などと呼ばれ恐れられているが、
収束についての正確な議論のためには不可欠である。
ただ、&bold(){数学1Bを履修する限りでは重要ではないし、試験では全く問われないだろう。}
実は公理 1.4 や命題 1.5 などの中で無意識に使われている。
(例)
$$a_n = 1/n \ (n=1, 2, 3, \ldots)$$ とすると、 $$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$$
#region(plus 証明)
'''Proof.'''
任意の正数 ε>0 に対して、
N=2/εとすれば、
任煮の番号n≧Nに対して 0<a&sub(){n}=1/n≦ε/2 なので、
|a&sub(){n}-0|≦ε/2≦ε ∥
#endregion
#blockquote(){{{公理 1.4 (区間縮小法, はさみうちの原理)
閉区間の入れ子 $$I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots$$
すなわち$$I_1=[a_1, b_1], I_2=[a_2, b_2], \ldots (a_1 \le a_2 \le a_3 \le \cdots \le b_3 \le b_2 \le b_1)$$
があって、
I&sub(){n}の長さ(b&sub(){n}-a&sub(){n})が零に収束すると仮定する。
このときすべての区間I&sub(){n}に共通に含まれる実数の定数cがただひとつ存在する。
}}}
(例)
x&sup(){2}=2, x>0を満たす実数xがただひとつ存在する。
'''Proof.'''
#math(128){{{
\begin{array}{ll}
a_1=1 & b_1=2 \\
a_2=1.4 & b_2=1.5 \\
a_3=1.41 & b_3=1.42 \\
\vdots & \vdots
\end{array}
}}}
とすると、
$$I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots$$かつ
$$\lim_{n \to \infty} (b_n-a_n) = 0$$
となるから、
全てのI&sub(){n}に含まれる実数cがただひとつ存在する。
>ここで証明終わりではない!
>「I&sub(){n}に含まれる」と「x&sup(){2}=2, x>0」の関係をここから述べる。
$$ a_n^2 \le 2 \le b_n^2 $$だから、
$$\begin{align} & 0 \le 2-a_n^2 \le b_n^2-a_n^2, \\ & 0 \le b_n^2-2 \le b_n^2-a_n^2 \end{align}$$
最右辺は
$$ b_n^2-a_n^2 = (b_n+a_n)(b_n-a_n) \le (2+2)(b_n-a_n) \xrightarrow{n \to \infty} 0 $$
なので、
$$ \lim_{n \to \infty}a_n^2=\lim_{n \to \infty}b_n^2=2 $$が得られる。
a&sub(){n}≦c≦b&sub(){n}より、
$$ 0=\lim(b_n^2-a_n^2)=\underbrace{\lim(b_n^2-c^2)}_{\ge 0}+\underbrace{\lim(c^2-a_n^2)}_{\ge 0} $$
よって、$$ \lim(b_n^2-c^2)=\lim(c^2-a_n^2)=0 $$
ゆえに、$$ c^2=\lim a_n^2=2 $$
また、0<a&sub(){n}≦cより、c>0 ∥
(例)おわり
#blockquote(){{{命題 1.5 (四則の極限の交換)
lim a&sub(){n}=α, lim b&sub(){n}=βとする。
(1)lim (a&sub(){n}±b&sub(){n})=α±β
(2)lim a&sub(){n}b&sub(){n}=αβ
(3)lim (a&sub(){n}/b&sub(){n})=α/β (ただしβ≠0)
}}}
'''Proof.'''
(1) $$ 0 \le |a_n+b_n-(\alpha+\beta)| \le |a_n-\alpha|+|b_n-\beta| \xrightarrow{n \to \infty} 0 $$
(2) $$ 0 \le |a_nb_n-\alpha\beta| = |a_nb_n-a_n\beta+a_n\beta-\alpha\beta| \le |a_n||b_n-\beta|+|a_n-\alpha||\beta| \xrightarrow{n \to \infty} 0 $$
(3) $$ \lim (1/b_n) = 1/\beta $$を示せば(2)より示される。
$$ \left|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{\beta}\right| = \left|\frac{\beta-b_n}{b_n\beta}\right| = \frac{|\beta-b_n|}{|b_n||\beta|} \xrightarrow{n \to \infty} 0 $$ ∥
----
*次:[[§4 有界な単調数列の収束性]]