§1 実数

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自然数 $$\mathbb{N}=\{0, 1, 2, \ldots \}$$ は定義されているものとする。 このとき、 整数 $$\mathbb{Z}= \{ 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \}$$ 有理数 $$\mathbb{Q}= \{ p/q | p,q \in Z, q \ne 0 \}$$ を定義するのは容易である。 一方、実数を定義するのは容易でない。 でも頑張って定義しよう。 #blockquote(){定義 1.1 実数Rを -四則が定められ (省略&sup(){気になる人は先生に質問してほしい}) -順序が定まり (公理 1.4.1) -連続性の公理を満たし (公理 1.4) -アルキメデスの原理が成り立つ (公理 1.2) ような集合と定める。} 有理数は四則が定められ、順序が定まる。連続性はない。 #blockquote(){公理 1.2 (アルキメデスの原理) 任意の正の実数&space()$$\epsilon$$&space()に対し、自然数$$N$$が存在して $$\epsilon N>1$$となる。} #region(Plus 無限小について) $$ \infty $$が実数だと、無限小$$ 1/\infty $$は実数。 これは1/n(n>0)の形をしているから正であるはずだが、 $$ 1/\infty $$はN倍しても1を超えないから実数ではない。 したがって$$ \infty $$は実数ではない。 #endregion #region(Plus デデキント切断) ここでは数列の極限として実数を定義しているが、 数学1Aのノートを見ればわかるとおり、彼らは実数を別のやり方で定義している。 詳しいことはここには書かない。ただ実数の作り方は1つではないということを補足しておく。 #endregion ---- *次:[[§2 数列]]
自然数 $$\mathbb{N}=\{0, 1, 2, \ldots \}$$ は定義されているものとする。 このとき、 整数 $$\mathbb{Z}= \{ 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \}$$ 有理数 $$\mathbb{Q}= \{ p/q | p,q \in Z, q \ne 0 \}$$ を定義するのは容易である。 一方、実数を定義するのは容易でない。 でも頑張って定義しよう。 #blockquote(){{{定義 1.1 実数Rを -四則が定められ (省略&sup(){気になる人は先生に質問してほしい}) -順序が定まり (公理 1.4.1) -連続性の公理を満たし (公理 1.4) -アルキメデスの原理が成り立つ (公理 1.2) ような集合と定める。}}} 有理数は四則が定められ、順序が定まる。連続性はない。 #blockquote(){{{公理 1.2 (アルキメデスの原理) 任意の正の実数&space()$$\epsilon$$&space()に対し、自然数$$N$$が存在して $$\epsilon N>1$$となる。}}} #region(Plus 無限小について) $$ \infty $$が実数だと、無限小$$ 1/\infty $$は実数。 これは1/n(n>0)の形をしているから正であるはずだが、 $$ 1/\infty $$はN倍しても1を超えないから実数ではない。 したがって$$ \infty $$は実数ではない。 #endregion #region(Plus デデキント切断) ここでは数列の極限として実数を定義しているが、 数学1Aのノートを見ればわかるとおり、彼らは実数を別のやり方で定義している。 詳しいことはここには書かない。ただ実数の作り方は1つではないということを補足しておく。 #endregion ---- *次:[[§2 数列]]

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