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自然数
$$\mathbb{N}=\{0, 1, 2, \ldots \}$$
は定義されているものとする。
このとき、
整数
$$\mathbb{Z}= \{ 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \}$$
有理数
$$\mathbb{Q}= \{ p/q | p,q \in Z, q \ne 0 \}$$
を定義するのは容易である。
一方、実数を定義するのは容易でない。
でも頑張って定義しよう。
#blockquote(){定義 1.1
実数Rを
-四則が定められ (省略&sup(){気になる人は先生に質問してほしい})
-順序が定まり (公理 1.4.1)
-連続性の公理を満たし (公理 1.4)
-アルキメデスの原理が成り立つ (公理 1.2)
ような集合と定める。}
有理数は四則が定められ、順序が定まる。連続性はない。
#blockquote(){公理 1.2 (アルキメデスの原理)
任意の正の実数&space()$$\epsilon$$&space()に対し、自然数$$N$$が存在して
$$\epsilon N>1$$となる。}
#region(Plus 無限小について)
$$ \infty $$が実数だと、無限小$$ 1/\infty $$は実数。
これは1/n(n>0)の形をしているから正であるはずだが、
$$ 1/\infty $$はN倍しても1を超えないから実数ではない。
したがって$$ \infty $$は実数ではない。
#endregion
#region(Plus デデキント切断)
ここでは数列の極限として実数を定義しているが、
数学1Aのノートを見ればわかるとおり、彼らは実数を別のやり方で定義している。
詳しいことはここには書かない。ただ実数の作り方は1つではないということを補足しておく。
#endregion
----
*次:[[§2 数列]]
自然数
$$\mathbb{N}=\{0, 1, 2, \ldots \}$$
は定義されているものとする。
このとき、
整数
$$\mathbb{Z}= \{ 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \}$$
有理数
$$\mathbb{Q}= \{ p/q | p,q \in Z, q \ne 0 \}$$
を定義するのは容易である。
一方、実数を定義するのは容易でない。
でも頑張って定義しよう。
#blockquote(){{{定義 1.1
実数Rを
-四則が定められ (省略&sup(){気になる人は先生に質問してほしい})
-順序が定まり (公理 1.4.1)
-連続性の公理を満たし (公理 1.4)
-アルキメデスの原理が成り立つ (公理 1.2)
ような集合と定める。}}}
有理数は四則が定められ、順序が定まる。連続性はない。
#blockquote(){{{公理 1.2 (アルキメデスの原理)
任意の正の実数&space()$$\epsilon$$&space()に対し、自然数$$N$$が存在して
$$\epsilon N>1$$となる。}}}
#region(Plus 無限小について)
$$ \infty $$が実数だと、無限小$$ 1/\infty $$は実数。
これは1/n(n>0)の形をしているから正であるはずだが、
$$ 1/\infty $$はN倍しても1を超えないから実数ではない。
したがって$$ \infty $$は実数ではない。
#endregion
#region(Plus デデキント切断)
ここでは数列の極限として実数を定義しているが、
数学1Aのノートを見ればわかるとおり、彼らは実数を別のやり方で定義している。
詳しいことはここには書かない。ただ実数の作り方は1つではないということを補足しておく。
#endregion
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*次:[[§2 数列]]